Lão Gân là một nhà toán học gàn. Thuở sinh tiền, lão viết rất nhiều sách toán và kiếm được rất nhiều tiền. Người ta đồn rằng lão có đến mấy trăm viên kim cương nhưng lão vẫn không có hạnh phúc. Lão buồn vì đàn con của lão. Lão có 5 đứa con mà không đứa nào muốn nối nghiệp lão, đứa nào cũng chê là toán học không cỏn cần thiết ở thời đại điện tử ngày nay. Biết mình gần đất xa trời, lão viết một tờ di chúc để lại cho chúng nó và đồng thời để dạy cho chúng nó một bài học. Lão tặng cho các cơ quan từ thiện rất nhiều số viên kim cương mà lão có, chỉ giữ lại đúng 59 viên dể chia cho các con như sau:

Thằng Hai được 1/2 số viên kim cương
Thằng Ba được 1/4 số viên kim cương
Con Tư được 1/6 số viên kim cương
Thằng Năm được 1/20 số viên kim cương
Thằng Sáu được 1/60 số viên kim cương

Lão còn dặn dò là các viên kim cương không được cắt ra thành nhiều mảnh nhỏ và mỗi đứa con phải nhận được đúng tỉ lệ số viên kim cương đã viết trong di chúc.

Sau khi lão Gân mất, các con mở di chúc ra mới biết là cha mình đã dạy mình một bài học là không phải các máy móc điện tử có thể luôn luôn giải quyết được mọi bài toán đơn giản ngày nay. Không thể nào chia 59 viên kim cương theo tỉ lệ như đã viết trong di chúc, vì:

1/2 của 59 viên kim cương = 29 viên + 1/2 viên
1/4 của 59 viên kim cương = 14 viên + 3/4 viên
1/6 của 59 viên kim cương = 9 viên + 5/6 viên
1/20 của 59 viên kim cương = 2 viên + 19/20 viên
1/60 của 59 viên kim cương = 59/60 viên

Sau cùng, các con của lão Gân phải đến nhờ lão Bá, cũng là nhà toán học, bạn vong niên của lão Gân, giúp giùm. Sau vài phút suy nghĩ, lão Bá đồng ý đến nhà của lão Gân, không quên mang theo bửu bối bên mình.

Đến nơi, lão Bá mời mọi người ngồi chung quanh lão để lắng nghe lời phán quyết của lão. Lão từ từ rút trong túi ra một viên kim cương, cho mọi người thấy rõ và nói: “Đây là viên kim cương của lão, lão cho gia đình mượn tạm, thằng Hai nhớ trả lại lão sau nầy nghe không?”.

Với viên kim cương mượn của lão Bá, gia tài của lảo Gân bây giờ là 60 viên kim cương.

Lão Bá phân chia 60 viên kim cương cho các con của lão Gân như sau:

Thằng Hai được 1/2 gia tài hay 60/2 = 30 viên kim cương
Thằng Ba được 1/4 gia tài hay 60/4 = 15 viên kim cương
Con Tư được 1/6 gia tài hay 60/6 = 10 viên kim cương
Thằng Năm được 1/20 gia tài hay 60/20 = 3 viên kim cương
Thằng Sáui được 1/60 gia tài hay 60/60 = 1 viên kim cương

Tổng cộng số kim cương đã chia là:

30 + 15 + 10 + 3 + 1 = 59 viên

Còn lại 1 viên kim cương. Lão Bá nói lớn: “Đây là viên kim cương lão đã cho gia đình mượn, bây giờ lão lấy lại!”. Trước khi ra về, lão Bá còn hỏi mọi người có ai phiền trách là lão đã chia phần họ ít hơn như đã viết trong di chúc không?.

Mọi người đều rất hài lòng vì ai cũng thấy mình được hưởng nhiều hơn như đã viết trong di chúc: thằng Hai được thêm 1/2 viên, thằng Ba được thêm 1/4 viên, con Tư được thêm 1/6 viên, thằng Năm được thêm 1/20 viên và thằng Sáu được thêm 1/60 viên!

Giải thích

Sự nghịch lý trong cách chia gia tài nầy đã có từ hồi xa xưa dưới nhiều hính thức khác nhau. Bài toán bình dân mà nhiều người thường đem ra đố nhau là bài toán gia tài với 17 con trâu phải chia cho 3 người con theo tỉ lệ: 1/2, 1/3 và 1/9.

Lão Gân không phải vô ý mà đã cố ý không chia hết gia tài 59 viên kim cương cho 5 người con. Thật vậy, nếu cộng các tỉ lệ trong di chúc, ta có:

Đây là một bài học rất hay mà lão Gân đã dạy cho các con: kỹ thuật không phải là tất cả, cũng phải cần đến óc suy luận của con người.

Độc giả có thể tự đặt ra những bài toán chia gia tài tương tự với các số nguyên k, l, m, n, …
và u thỏa hệ thức

Với bài toán chia trâu như trên, ta có:

Thuận Hoà
Sydney 2016