“Định lý Cánh Bướm” là tên dịch tạm của một bài toán hình học có dạng một hình cánh bướm, gọi bằng tiếng Anh là “The Butterfly Theorem’’.  Bài toán đó như dưới đây:

Cho một vòng tròn và dây cung CD bất kỳ có trung điểm K. Qua K, kẻ 2 dây cung bất kỳ EF và HG. EG và HF cắt dây cung CD lần lượt tại M và L. Chứng minh: KM = KL.

Đến nay, bài toán đã được nhiều người chứng minh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Theo Coxeter và Greitzer, W. G. Homer là người đầu tiên đã chứng minh định lý nầy năm 1815.

Vì giới hạn, bài viết nầy chỉ xin trình bày lại 2 trong rất nhiều cách chứng minh của bài toán.

1) Chứng minh của Coxeter and Greitzer (1991)

Phương pháp nầy áp dụng tính chất đồng dạng của tam giác vuông.

Trong Hình 1, vẽ thêm MP và LQ thẳng góc với EF, MR và LS thẳng góc với HG.

Hai tam giác vuông KMP và KLQ đồng dạng:
=> KM/KL = PM/QL             (1)

Hai tam giác vuông đồng dạng KMR và KLS:
=> KM/KL = RM/SL              (2)

Hai tam giác vuông đồng dạng PME và SLH:
=> PM/SL = EM/HL              (3)

Hai tam giác vuông đồng dạng RMG và QLF
=> RM/QL = MG/ LF            (4)

Nhân vế (1) và (2):

(KM/KL)² = (PM/QL) x (RM/SL)
= (PM/SL) x (RM/QL) = (EM/HL) x ( MG/LF)  theo (3) và (4)
= (EM x MG) / (HL x LF) = (CM x MD) / (DL x LC)                       (5)

Đặt KM = x, KL = y, KC = KD = a
(5) => (x/y)² = [(a – x)(a + x)] / [(a – y)(a + y)] = (a² – x²) / (a² – y²)

=> x²(a² – y²) = y²(a² – x²) => a²x² = a²y² => x = y => KM = KL

2) Chứng minh của Shklyarsky (1952)

Cách chứng minh nầy áp dụng luật Sin (Law of Sines) trong tam giác như sau:

Xét tam giác ABC có cạnh đối diện các đỉnh A, B và C lần lượt là a, b và c. Các góc A, B, C và các cạnh a, b, c nghiệm đúng luật Sin:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Đặt KC = KD = a , KM = x , KL = y.  Ta có:

EM x MG = MC x MD
= (a – x)(a + x) = a² – x²                  (1)

Theo hình vẽ, tam giác KEG có

Góc EKG = α + β , Góc KEG = γ , Góc KGE = 180^o – (α + β + γ)

Luật Sin áp dụng vào tam giác KMG:

MG/sinMKG = KM/sinMGK => MG/sinα = x/sin[(180^o – (α + β + γ)]

=> MG = x sinα / sin(α + β + γ)                     (2)

Luật Sin áp dụng vào tam giác KME:

EM/sinMKE = KM/sinMEK => EM/sinβ = KM/sinγ = x/sinγ

=> EM = x sinβ / sinγ                                     (3)

Thay trị của MG và EM từ (2) và (3) vào (1):

=> EM x MG = x sinβ / sinγ . x sinα / sin(α + β + γ) = a² – x²
=> x². sinα sinβ / [sinγ sin(α + β + γ)] = a² – x²                  (4)
=> x² {1 + sinα sinβ / [sinγ sin(α + β + γ)] } = a²

=> x² = a² / {1 + {sinα sinβ / [sinγ sin(α + β + γ)] }             (5)

Hệ thức (4) chứa đầy đủ các góc α, β và γ, nên tương tự, bên cánh KHF, ta cũng có hệ thức:

y² = a² / {1 + sinα sinβ / [sinγ sin(α + β + γ)]}                     (6)

Từ hai hệ thức (5) và (6), suy ra x = y hay KM = KL


Thuận Hoà
Sydney 2016