Có nhiều chuyện được coi là nghịch lý vì khó tin là đúng bằng những cảm nghĩ thông thường cho đến khi chuyện đó được chứng minh bằng toán học. Ngày sinh nhật cũng có một nghịch lý thuộc loại đó là:

“Trong một nhóm 23 người, cơ may để có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật là hơn 50%”.

Nhắc lại là sinh nhật chỉ gồm có ngày và tháng sinh. Bài nầy giả sử năm có 365 ngày.

Không ít người khi nghe lời phát biểu trên có phản ứng ngay, đại khái như: “Sở tôi có 60 nhân viên mà không có cặp nào có cùng sinh nhật. Nếu nói là trong 365 người, ít nhất có 2 người có cùng sinh nhật thì dễ tin hơn”. Phản ứng nầy đúng một phần, nếu nhóm có 365 người thì cơ may để có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật không phải là hơn 50% mà là 100%.

Nghịch lý về ngày sinh nhật có thể chứng minh bằng các quy luật đơn giản của xác suất:

Quy luật 1:  Nếu một hiện tượng A chỉ xảy ra 1 lần trong N lần thì xác suất của hiện tượng đó bằng: P(A) = 1/N
Trong 1,000,000 vé số, chỉ có 1 vé số trúng cả 6 số đã xổ.
Xác suất để trúng lô độc đắc là 1/1,000,000 = 0.000001

Quy luật 2:  Xác suất để 2 hiện tượng A và B xác suất P(A) và P(B) xảy ra cùng lúc bằng P(A) x P(B)
Thẩy 2 hạt xúc xắc, xác suất để có 2 nút 5 xảy ra cùng lúc bằng:
(1/6) x (1/6) = 1/36

Quy luật 3:  Nếu xác suất để hiện tượng A xảy ra là P(A), thì xác suất để hiện tượng A| không xảy ra là 1 – P(A)
Trong trò chơi vé số trên, xác suất để không trúng lô độc đắc là
1 – 1/1,000,000 = 1 – 0.000001 = 0.999999

Độc giả chắc đồng ý là tìm 2 người không có cùng ngày sinh nhật dễ hơn là tìm 2 người có cùng ngày sinh nhật. Vậy, ta bắt đầu bằng cách tìm xác suất để n người trong nhóm không có cùng sinh nhật.

Nếu nhóm có 1 người, sinh nhật của người đó khác với tất cả nên có xác suất là 365/365
Nếu nhóm có 2 người, sinh nhật của người thú hai khác sinh nhật của người thứ nhất khi nó rơi vào bất cứ ngày nào trong 364 ngày còn lại, tức là có xác suất bằng 364/365
Suy ra, xác suất để 2 người có khác ngày sinh nhật là
(365/365) x (364/365) ≈ 0.99726

Nếu nhóm có 3 người, sinh nhật của người thứ ba khác sinh nhật của người thứ nhất và thứ hai khi nó rơi vào bất cứ ngày nào trong 363 ngày còn lại, tức là có xác suất bằng 363/365

Suy ra, xác suất để 3 người có khác ngày sinh nhật là:
(365/365) x (364/365) x (363/365) ≈ 0.9918

Nếu nhóm có n người thì xác suất để n người nầy có khác ngày sinh nhật bằng:

Khi số người n tăng thì xác suất để n người nầy không có cùng sinh nhật giàm trong khoảng từ 1 xuống 0.

Đặc biệt khi n = 23, ta có:

Từ xác suất để n người trong nhóm không có cùng sinh nhật, suy ra dễ dàng xác suất để n người trong nhóm có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật theo bảng dưới đây:

Theo bảng trên thì trong nhóm có 23 người, cơ may để có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật là 51% tức là hơn 50%. Điều đó có thể làm ngạc nhiên nhiều người nghĩ sai là kết quả phải là 23/365 = 0.063 hay 6.3%!. Nếu nhóm có 100 người thì gần như khẳng định là có ít nhất 2 người trong nhóm có cùng ngày sinh nhật!

Lý do của “nghịch lý về ngày sinh nhật” là do khi nói “cùng ngày sinh nhật”, ta không nói rõ sinh nhật ở “ngày nào trong tháng và tháng nào trong năm”. Trong nhóm 23 người, có thể có vài người có cùng sinh nhật ngày nầy, có vài người khác có cùng sinh nhật ngày khác, . . .

Thuận Hoà
Sydney 2016