Ai cũng biết là: mười có 1 số zero tận cùng, một trăm có 2, một ngàn có 3, một vạn có 4, … một triệu có 6 và một tỉ có 9 số zeroes tận cùng. Nói cách khác 10¹ có 1, 10² có 2, 10³ có 3 số zeroes tận cùng, vv …  hay một cách tổng quát,  10ⁿ có n số zeroes tận cùng.

Nhưng, nếu được hỏi là  tích số  P = 1125 x 1728   có bao nhiêu số zeroes tận cùng thì chắc bạn không thể trả lời ngay được!

Bạn có thể lý luận như sau: nếu P chia đúng cho 10, P sẽ có 1 số zero tận cùng, chia đúng cho 100, P sẽ có 2 số zeroes tận cùng, chia đúng cho 1000, P sẽ có 3 số zeroes tận cùng, vv …

Nói cách khác, nếu P và các thương số liên tiếp chia đúng cho 10, n lần thì P sẽ có n số zeroes tận cùng. Vì 10 = 2×5, nên bạn cũng có thể nói: “Số zeroes tận cùng của P bằng số cặp (2,5) có trong các thừa số của P”.

Làm sao để biết các cặp (2,5) trong các thừa số của P. Bằng cách phân tích P thành thừa số nguyên tố. Trong thí dụ trên, bạn có:

1125 = 3².5³             1728 = 2⁶. 3³
=>       P = 1125 x 1728 = 2⁶.3⁵.5³ = (2 x 5)³. 2³.3⁵
=>       P có 3 cặp (2,5) trong các thừa số =>  P có 3 số zeroes tận cùng.

Thật vậy,  P = 1125 x 1728 = 1,944,000

Thực ra, mục đích của bài viết nầy là để tìm xem có cách nào nhanh chóng để biết được số zeroes tận cùng của một số hóc búa hơn. Đó là số 1000!  hay  giai thừa của 1000. 

Giai thừa của 1000 là tích số của 1000 số khác nhau thay đổi từ 1 đến 1000:

1000! =  (1000)(999)(998) …….. (4)(3)(2)(1)

Số zeroes tận cùng của số N là số các thừa số 10 trong số N. Thí dụ, số

N = 3 x 7 x 10 x 11 x 13 x 10 x 10 x 17 x 10 x 23 có 4 thừa số 10 nên có 4 zeroes tận cùng.

Vì  10 = 2 x 5 nên số zeroes tận cùng của số N bằng số cặp số (2,5) trong các thừa số của N.

Số cặp (2,5) trong các thừa số của N có thể tìm được bằng cách phân tích N thành thừa số nguyên tố.  Nhưng với những số giai thừa, cách đó không áp dụng được!.

Trong số 1000!, số các thừa số 2 rất lớn so với số các thừa số 5. Do đó, số các cặp (2,5) bằng số các thừa số 5. Như vậy, tìm số zeroes tận cùng của 1000! là tìm số thừa số 5 trong 1000!

Các lũy thừa của 5 nhỏ hơn 1000 là

25 = 5²,   125 = 5³,  625 = 5⁴

Trong 1000 số từ 1 đến 1000, có  1000/5 = 200 số cách khoảng 5 và có chứa thừa số 5 như 5, 10, 15, 20, ……. , 990, 995, 1000.

Số 25 = 5×5  chứa 2 thừa số 5. Các bội số của 25 như 50, 75, 100, 125, 150, …… , 975, 1000 mỗi số cũng chứa 2 thừa số 5. Có 1000/25 = 40 bội số của 25 trong 1000 số đầu tiên. Số 40 nầy phải cộng thêm vào tổng số các thừa số 5 trong 1000!.

Số 125 = 5x5x5 chứa 3 thừa số 5. Các bội số của 125 như 250, 375, … , 875, 1000 mỗi số cũng chứa 3 thừa số 5. Có 1000/125 = 8 bội số của 125 trong 1000 số đầu tiên. Số 8 nầy phải cộng thêm vào tổng số các thừa số 5 trong 1000!.

Số 625 = 5x5x5x5 chứa 4 thừa số 5 trong 1000!. Chỉ có 1 số 625 là có chứa 4 thừa số 5.

Tóm lại, số thừa số 5 trong 1000! Có tổng số bằng:

200 + 40 + 8 + 1 = 249

Số thừa số 2 trong 1000! thì lớn hơn nhiều so với số thừa số 5 (trong 1000 số đầu tiên, đã có 500 số chẳn).  249 thừa số 5 ghép với 249 thừa số 2 để có 249 cặp (2,5) thừa số trong 1000!.

Giai thừa 1000! có 249 thừa số 2×5 = 10  hay 10²⁴⁹  nên có 249 số zeroes tận cùng.

Phương pháp tìm số zeroes tận cùng của giai thừa N!

Từ bài toán trên, bạn có thể suy ra phương pháp sau đây:

1. Chia N cho 5 để có thương số m, bỏ số lẻ nếu có
2. Chia N cho 5² = 25 để có thương số n, bỏ số lẻ nếu có
3. Chia N cho 5³ = 125 để có thương số u, bỏ số lẻ nếu có
4. Chia N cho 5⁴ = 625 để có thương số v, bỏ số lẻ nếu có

Tiếp tục chia N cho lũy thừa tiếp theo của N cho đến khi có
một thương số nhỏ hơn 1 thì ngừng.

Số zeroes tận cùng của N! = m + n + u +  v + …

Thí dụ:  Tìm số zeroes tận cùng cùa  150! (giai thừa của 150)

1. 150/5 = 30
2. 150/25 = 6
3. 150/125 = 1
4. 150 / 625 ngừng

Số zeroes tận cùng của 150! = 30 + 6 + 1  =  37


Thuận Hòa
Sydney 2017