Nhân sinh nhật 18 của mình, Tuấn được ông nội tặng cho một số tiền. Để thử tài suy luận của đứa cháu vừa đoạt giải nhứt toàn trường môn toán, ông nội đưa cho Tuấn 2 bao thơ:

Ông nói:

“Đây là 2 bao thơ trong đó có tiền mà ông muốn tặng cho cháu, một bao thơ có tiền gấp đôi tiền trong bao thơ
kia. Bây giờ, cháu hãy chọn một bao thơ. Cháu chọn đi. Chọn rồi chứ? Tốt, mở ra xem được bao nhiêu?. À, $500,
nghĩa là trong bao thơ kia có thể có $1,000 nhưng cũng có thể chỉ có $250. Bây giờ, ông cho cháu một cơ hội: cháu
có thể giữ bao thơ đó với $500 hay đổi lấy bao thơ kia là tùy ý cháu.”

Thấy Tuấn ngần ngừ không quyết định được, ông nội nói:

“Cháu không quyết định được bây giờ, ông cho cháu suy nghĩ thêm một đêm, 2 bao thơ ông để trên bàn, ngày mai,
cháu cho ông biết quyết định của cháu cũng không muộn.”

Thật ra, Tuấn là một học sinh giỏi toán, không muốn có những quyết định vội vàng, cho qua chuyện. Tuấn muốn có một
quyết định lôgic mà mình có thể giải thích được lý do. Suy nghĩ nát óc mà Tuấn vẫn còn bế tắc, nhờ quý độc giả giúp giùm!

*    *    *

Thử áp dụng tính chất của Trị kỳ vọng (expected value) trong xác suất.

Nếu sự xảy ra của một hiện tượng E tùy thuộc nhiều trường hợp E1, E2, …., En với xác suất lần lượt là   p1, p2, …. , pn    thì Trị kỳ vọng của hiện tượng E bằng :

TKV( E ) = p1E1 + p2E2 + …… + pnEn

Thí dụ: Có một trò chơi quay số từ 50 quả banh có đánh số từ 1 đến 50. Ai muốn tham dự phải mua vé vô cửa $40. Nếu thắng, được lãnh $1000, còn thua thì được lãnh $10. Xác suất của trường hợp thắng là 2/100 hay 0.02 và trường hợp thua là 0.98. Nếu tham dự, người chơi kỳ vọng được bao nhiêu tiền?

Hiện tượng người tham dự có 2 trường hợp có thể xảy ra:

– Tthắng, xác suất 0.02, được $1,000
– Thua, xác suất 0.98, được $10

=> Người chơi kỳ vọng kiếm được = 0.02 x 1,000 + 0.98 x 10 => $29.80

Nếu kể luôn tiền vô cửa $40, thì người chơi mất $40 – $29.80 = $10.20

Trường hợp của bài toán 2 bao thơ, nếu Tuấn bỏ bao thơ đã chọn lấy bao thơ mới, thì có 2 trường hợp có thể xảy ra:

– Trường hợp bao thơ mới có $1000, xác suất 0.5
– Trường hợp bao thơ mới có $250, xác suất   0.5

Số tiền Tuấn kỳ vọng có được là:

0.5 x $1000 + 0.5 x $250 = $625             (1)

Số tiền nầy lớn hơn số tiền $500 mà Tuấn đã chọn trước.

Như vậy, tốt nhất là Tuấn nên bỏ bao thơ đã chọn và lấy bao thơ thứ hai.

Độc giả có thể thắc mắc: bài toán có thể giải quyết một cách thuận lý như vậy thì có gì là nghịch lý?

Thật ra, bài toán nếu xảy ra như trên, tức là bao thơ chọn lần đầu đã được mở ra và số tiền bên trong đã được biết, thì không có gì là nghịch lý cả.

Nghịch lý chỉ xảy ra nếu Tuấn đươc cho đặc ân đổi bao thơ đã chọn với bao thơ còn lại ngay lúc chưa mở bao thơ đã chọn, tức là chưa biết số tiền trong bao thơ đó.

Để ý rằng số tiền kỳ vọng được có khi đổi bao thơ, theo (1), không tùy thuộc số tiền có trong bao thơ đã chọn trước.

Dù số tiền có trong bao thơ đã chọn trước là bao nhiêu, số tiền kỳ vọng có khi đổi bao thơ cũng là $625, theo (1). Số tiền nầy lớn hơn số tiền nhỏ nhất là $500. Vậy, đổi bao thơ luôn là quyết định tốt nhất nên lựa chọn.

Nếu bao thơ thứ nhất có $500, thì đổi sang bao thơ thứ hai           => được $1000
Nếu bao thơ thứ nhất có $1000, thì đổi sang bao thơ thứ nhất    => được $500

Nghịch lý là ở điểm nầy!

Thuận Hoà
Sydney 2017