ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP272 – Hình học thời cỗ Hy lạp



Không kể Số học, có thể nói Hình học là ngành Toán học cỗ nhất trong thiên hạ. Con người đã sử dụng các kỹ thuật Toán học từ trước khi lịch sữ được ghi chép. Khởi thủy, như với các nhà Toán học Ai cập, Hình học bắt nguồn từ những đòi hỏi thực tế trong đời sống và từ sự phân chia đất đai.

Danh từ “Geometry” có nghĩa là “Earth Measuring”. Đúng vậy, để đo ranh giớt đất đai và xây cất các công trình, con người phải cần có những năng khiếu và phương cách phán đoán về khoảng cách và chiều cao. Người Babylonians (1900 – 539 BC) rất có kỹ năng về phương diện nầy. Người Ai cập (thời kỳ cuối cùng 664 -332 BC) đã phát triển được những ý tưởng toán học dồi dào và phức tạp từ quan sát. Hai nền văn hóa trên đã truyền thành quả của mình cho các nhà toán học Hy lạp sau nầy,

Sự hình thành của Hình học Hy lạp.

Những thành quả của người Babylonians và người Ai cập chỉ có tính cách thực dụng, không có những nghiên cứu sâu xa về cấu trúc và những điều kiện hiện hữu của những thành quả đó. Thí dụ, người Babylonians cho là số Pi bằng 3 và không thấy có lý do phải thay đổi nó.
Hình học của người Ai cập thiếu cấu trúc, có nhiều quy luật và lời giải cho từng trường hợp đặc biệt. Thí dụ như tính thể tích của hình nón cụt. Họ cũng dùng Lượng giác để khảo sát và do đạt kích thước kim tự tháp. Cả hai nền Toán học Babylonian và Ai cập không thấy dùng phương pháp suy diễn (deduction) để khám phá những quy luật hình học mới từ những qui luật ban đầu. Thay vào đó, họ dùng phương pháp thử-và-sai (Trial and error) để tìm một kết quả gần đúng nếu kết quả chính xác không có sẵn. Dầu sao, hai nền văn hóa Babylonian và Ai cập đã thiết lập được một nền tảng cho Hình học Hy lạp và người Hy lạp đã đem phương pháp suy diễn để tìm ra những quy luật đẹp đẽ của Hình học.

Trong bài nầy, tác giả xin chỉ xét đến hai nhà toàn học ở thời cỗ Hy lạp mà tên tuổi luôn được nhắc đến trong môn Hình học giảng dạy ở các năm đầu trung học. Đó là: Thales và Pythagoras.

Thales of Miletus

Thales of Miletus hay Thales là một trong bảy nhà hiền triết thời cỗ Hy lạp. Ông sinh năm 624 BC và mất năm 546 BC, sống tại Miletus, Turkey, nổi tiếng trong nhiều lãnh vực: triết học, toán học và thiên văn học. Thales được xem như là người sáng lập ra Hình học. Ông đã áp dụng Hình học đo được chiều cao của kim tụ tháp và khoảng cách từ bờ đến một chiếc tàu ngoài khơi. Thales là người đầu tiên áp dụng phương pháp suy diễn trong Hình học. Thales mạnh mẽ tin rằng lý luận phải thay thế phương pháp thực nghiệm và trực giác. Ông bắt đầu tìm những quy tắc vững chắc có thể xây dựng định lý. Như vậy, Thales là người đầu tiên đã đưa phương pháp chứng minh (proof) vào hình học.

Năm định lý của Thales thường được nhắc đến là:

Vòng tròn được chia làm 2 phần bằng nhau bằng bất cứ đường kính nào của nó.

Hai góc ở đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.

Khi hai đường thẳng cắt nhau, hai góc đối diện bằng nhau.

Góc vẽ trong nửa vòng tròn là góc vuông.

Hai tam giác đồng đẳng (congruent) nếu có một cạnh bằng nhau và hai góc bằng nhau.

Định lý Thales dưới dạng đơn giản hay còn gọi là “định lý căn bản về tỉ lệ” phát biểu như sau:

Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác chia hai cạnh còn lại theo cùng tỉ số.

Xét tam giác ABC. Một đường song song với cạnh BC cắt cạnh AB tại D và cạnh AC tại E, ta có:
AD/DB= AE/EC

Chứng minh:   Giả sử D và E lần lượt ở trên cạnh AB và AC.

Nối BE, CD và vẽ DG thẳng góc với AC, EF thẳng góc với AB.

=> dt(ADE) = ½ AD x EF , dt(DBE) = ½ DB x EF
=> dt(ADE) / dt(DBE) = ½ AD x EF / ½ DB x EF = AD / DB       (1)

Tương tự với 2 tam giác ADE và DEC với đường cao DG:

dt(ADE) / dt(DEC) = ½ AE x DG / ½ EC x DG = AE / EC              (2)

Hai tam giác DBE và DEC có cùng diện tích vì có cùng đáy DE và đường cao bằng nhau
(khoảng cách của 2 đường song song DE và BC)

=> dt(DBE) = dt(DEC)               (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra    AD/DB = AE / EC

Chứng minh tương tự khi D và E lần lượt ở trên phần nối dài của AB và AC.

Pythagoras

Có thể nói người nổi tiếng nhất trong thời phát triển của Hình hoc Hy lạp là Pythagoras Ông sinh năm 570 BC tại Samos và mất năm 495 BC tại Metapontum. Ông là một triết gia, một toán học gia và là người đứng đầu của trường phái Pythagorianism có nhiều nghiên cứu về số học, sự hình thành của những con số và ý nghĩa của chúng.

Pythagoras sống trong một xã hội khép kín có phần nào nghiên về tôn giáo. Từ đấy, trường phái Pytharians đã thu thập nhiều ý tưởng và bắt đầu phát triển Lượng giác. Trường phái đã đóng góp thêm cho Hình học thời cỗ Hy lạp một số định lý như sau:

Tổng số các góc trong của một tam giác bằng hai góc vuông (180o).

Tổng số các góc ngoài của một tam giác bằng bốn góc vuông (360o).

Tổng số các góc trong của một đa giác bất kỳ có n cạnh bằng 2n-4 góc nuông.

Tổng số các góc ngoài của một đa giác bất kỳ bằng bốn góc nuông, không tùy thuộc số cạnh của đa giác.

Ba đa giác: tam giác, lục giác và hình vuông có thể lấp đầy phần mặt phẳng quanh một điểm. Sáu tam giác, bốn hình vuông và ba lục giác có thể lấp đầy phần mặt phẳng quanh một điểm. Nói khác đi, có thể lấp đầy một diện tích nào đó với ba hình tam giác, hình vuông và lục giác, mà không chừa khoảng trống hay lấn lên nhau.

Định lý Pythagorias

Tên Pythagorias thường được nhắc đến qua một định lý mang tên ông là định lý Pythagorias, như sau:

“Bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng số bình phương của hai cạng góc vuông.”

Thật ra, tính chất trên của tam giác vuông đã được biết trước thời của Pythagoras, nhưng chính Pythagoras là người đầu tiên đã chứng minh tính chất đó để nó trở thành một định lý, mặc dầu chứng minh đó chỉ là một sự sấp xếp các hình trong một hình vuông.

Ngày nay, cả trăm chứng minh định lý Pythagoras đã được tìm thấy. Một chứng minh được biết đến nhiều nhất được trình bày dưới đây:

Xét tam giác ABC vuông tại C. Vẽ 3 hình vuông ABDE, BCHK và CAFG. Vẽ CM thẳng góc với AB và cắt AB và DE tại M và L. Nối AK, BF, CD và CE.

Hai tam giác ABF và AEC bằng nhau vì có 2 cạnh bằng nhau AE = AB, AF = AC và 2 góc ở giữa bằng nhau

dt(ABF) = ½ AF x AC = ½ dt(CAFG) = ½ AC2        (1)

Tam giác AEC với đáy AE và đường cao phát xuất từ C bằng AM

dt(AEC) = ½ AE x AM = ½ dt(AELM)              (2)

Vì dt(ABF) = dt(AEC), theo (1) và (2) => AC2 = dt(AELM)        (3)

Tương tự, với 2 tam giác bằng nhau BAK và BDC => BC2 = dt(BMLD)          (4)

Cộng vế (3) và (4):

AC2 + BC2 = dt(AELM) + dt(BMLD) = dt(ABDE) = AB2

=>  AB2 = AC2 + BC2

Thuận Hoà
Sydney 2017

 
%d bloggers like this: