Chúng ta sử dụng số học hàng ngày.  Dù dễ học, dễ hiểu, nhưng số học cũng có những gút mắc dễ đưa đến sai lầm nếu không được sử dụng cẩn thận. Một trong những gút mắc đó là sự nhầm lẫn giữa hệ thống số, thường thấy trong các bài toán vui cho trẻ em, như một số bài toán vui dưới đây.

Bài toán 1:  Hai bàn tay có 11 ngón tay!

Chú Út xòe 2 bàn tay trên bàn và hỏi bé, chú có mấy ngón tay? Bé đáp ngay: Mười ngón.

Chú nói: Sai, 11 ngón. Chú đếm cho bé xem. Trên bàn tay trái, chú đếm từ ngón cái đến ngón út:  1, 2, 3, 4, 5. Vậy là bàn tay nầy có 5 ngón, đúng không?  Dạ, đúng. Chú tiếp tục đếm các ngón tay trên bàn tay phải, cũng từ ngón cái đến ngón út, nhưng đếm ngược: 10, 9, 8, 7, 6.

Như vậy bàn tay nầy có 6 ngón.  Tổng cộng, hai bàn tay của chú có 5 + 6 = 11 ngón, có đúng không? Bé ngơ ngác không đồng ý là chú đúng nhưng không biết tại sao!

Mời bạn đọc giải thích.

Bài toán 2: Một đô la bằng 10,000 cents

Bạn biết rằng ta có thể nhân vế 2 dẳng thức để có một đẳng thức thứ ba, thí dụ:

1  đô la   =  100    cents
A đô la   =  100 A  cents

Bằng cách nhân vế  2 đẳng thức trên, suy ra:

A x 1  đô la   =   (100 A x 100)  cents        (1)
=>   A đô la  =  10,000 A cents

Hay     1  đô la =  10,000  cents  !             (2)

Dĩ nhiên là sai, nhưng tại sao? Mời bạn đọc giải thích.

Bài toán 3:  45 – 45 = 45 !

Bạn có thể chứng minh (sai) 45 – 45 = 45 bằng những lý luận như dưới đây:

Bạn cộng các con số từ 1 đến 9 và viết từ số nhỏ đến số lớn như sau:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9                   (1)

Bạn viết tổng số đó theo thứ tự ngược lại từ số lớn đến số nhỏ như sau:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1                  (2)

Hai tổng số (1) và (2) đều bằng 45. Trừ (2) với (1) từng cột theo như cách viết sau đây:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1      (2)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9      (1)
======================
8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2      (3)

Cả 3 tổng số (2), (1) và (3) đều bằng 45.

Như vậy thì  (2) – (1) = (3)  hay    45 – 45 = 45 !

Lẽ dĩ nhiên, kết quả trên không đúng. Nhưng tại sao không đúng?

Mời bạn đọc giải thích.

*   *   *

Bài toán 1.

Bàn tay trái có 5 ngón tay. Thứ tự của các ngón tay của bàn tay mặt là: thứ mười, thứ chín, thứ tám, thứ bảy, thứ sáu.

1, 2, 3, 4, 5       là tổng số liên tiếp của các ngón tay trên bàn tay trái.
10, 9, 8, 7, 6    là thứ tự liên tiếp của các ngó tay trên bàn tay phải.

Hai số 5 và 6 cộng lại là vô nghĩa vì ở 2 hệ thống khác nhau!

Bài toán 2.

Lãnh vực tiền bạc không có khái niệm về  “tiền x tiền”  như trong lãnh vực độ dài
“độ dài x độ dài = độ dài bình phương hay diện tích”.

Viết   A đô la x 1 đô la   hay  100A cents x 100 cents  (2 vế trong hệ thức (1)) cũng giống như là viết    $5 x $7 = $35 !

Trong bài toán 2, nếu thay đô la và cent bằng  met  và  centimet  thì không có gì sai:

A m = 100A cm và 1 m = 100 cm

=>   A m x 1 m = 100A cm x 100 cm
=>   A m²          = 10,000 A cm²

Bài toán 3.

Bài toán nầy rất thú vị, khó mà giải thích được tại sao 45 – 45 = 45! Phải chăng đó là một sự tình cờ thường xảy ra trong toán học. Xin thưa, không phải vậy. Đó là do cách làm toán trừ trong số học. Khi trừ một số lớn từ một số nhỏ, số nhỏ phải mượn 10 (tức là 1) từ cột kế bên trái. Đến khi sang cột kế bên trái, ta phải cộng thêm 1 đơn vị vào số trừ.

Trong bài toán trừ (2) – (1), có 5 lần các con số 1, 2, 3, 4 và 5 trong (2) phải cộng thêm 10 mượn lần lượt từ các con số kế bên trái của nó, và các con số 8, 7, 6, 5 và 4 trong (1) phải cộng thêm 1 khi phép trừ di chuyển đến cột của chúng.

Khi 5 con số 1, 2, 3, 4 và 5 của (2) tăng 10 với mỗi con số thì 5 con số 8, 7, 6, 5 và 4 của (1) phải cộng thêm 1 với mỗi con số.

Tóm lại, khi thực hiện phép trừ (2) – (1), ta đã gián tiếp cộng thêm 5 x 10 = 50 vào (2) và cộng thêm 5 x 1 = 5 vào (1), tức là thật sự ta đã làm bài tính:

(2) + 50 – [(1) + 5] = 45 + 50 – 45 – 5 = 45

Thuận Hoà
2017