Tìm tên các bà vợ của bốn ông chồng

Trong một buổi họp mặt vui, 4 cặp vợ chồng uống hết 44 ly nước cam.
Bà An uống 2 ly, bà Bình 3 ly, bà Can 4 ly và bà Dậu 5 ly. Số ly ông Bân và vợ uống như nhau
nhưng các ông chồng khác uống nhiều hơn mấy bà vợ: ông Gần gắp đôi, ông Văn gấp ba và ông Sang gấp 4.

Xin cho biết tên của bốn bà vợ của 4 ông chổng.

Lời giải Bài TVM008 – Tìm công thức tổng quát

Gọi n là thứ tự của hệ thức. Thí dụ: hệ thức 7 + 9 + 11 = 8 có thứ tự n = 3

Ta có các nhận xét sau đây:

a) Vế bên trái của hệ thức thứ n có n số hạng, mỗi số hạng liên tiếp
cách nhau 2 đơn vị và là số lẻ.

b) Vế bên phải của hệ thức thứ n là lũy thừa 3 của n hay n³.
1 = 1³,   8 = 2³,   27 = 3³,   64 = 4³,   125 = 5³

Các hệ thức bắt đầu bằng các số lẻ 1, 3, 7, 13, 21, … Làm sao tìm được sự liên
kết các số nầy với thứ tự n của hệ thức?.

Để tìm được sự liên hệ đó, ta nhờ vào bảng sau đây:

Từ nhận xét các kết quả trên bảng, ta có thể suy ra:

Hệ thức thứ n bắt đầu với số: n² – n + 1            (1)

Vì hệ thức thứ n có n số hạng cách nhau 2 đơn vị, nên số cuối của hệ thức thứ n là
Số đầu + (n -1) x 2 = n² – n + 1 + 2n – 2 = n² + n – 1              (2)

Tóm lại, hệ thức thứ n có n số hạng mà tổng số bằng:
S = (n² – n + 1) + (n² – n + 3) + (n² – n + 5) + . . . . . . . . . + (n² + n – 1)

S là tổng số của một chuỗi số có bước là 2 và có n số hạng mà số hạng đầu là
n² – n + 1 và số hạng cuối là n² + n – 1.

Áp dụng một công thức đã biết, ta được:

S = ½ n (Số đầu + Số cuối) = ½ n [(n² – n + 1) + (n² + n – 1)]

Tóm lại, công thức tổng quát của các hệ thức thứ n đã cho là:

½ n [(n² – n + 1) + (n² + n – 1)] = n³

Chú thích: Công thức tính tổng số của của một chuỗi số nguyên có n số hạng cách khoảng nhau.

S = b₁  + b₂    + b₃ + . . . . . . + b_n-1 + b_n                 (1)
S = b_n + b_n-1 + . . . . . . . . . . .+ b₂    + b₁                    (2)

n cặp số trên cùng cột ở vế thứ hai của (1) và (2) đều bằng nhau và bằng  (Số đầu + Số cuối)

Cộng vế (1) và (2):

=> 2S = n (Số đầu + Số cuối)

=>   S = ½ n (Số đầu + Số cuối)