Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa

 *      *      *

Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa

Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa

Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
                Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

____________________

Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

Bài toán vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa tương đương với bài toán chia một vòng tròn hay chia một góc 360^o thành n phần bằng nhau.

Theo định lý Gauss-Wantzel thì điều kiện cần và đủ để một đa giác đều có n cạnh vẽ được bằng thước thẳng và compa là ta có thể tìm một số nguyên m nào đó và một hay nhiều số Fermat nguyên tố khác nhau F₁, F₂, F₃, … sao cho:

          n  =   2^m x F₁ x F₂ x F₃ x ….

Các số Fermat có dạng F = 2^k + 1 với k là một số nguyên.
Năm số Fermat nguyên tố đầu tiên là 3, 5, 17, 257 và 65,537 ứng với k = 1, 2, 4, 8 và 16.

Điều kiện trên tương đương với điều kiện cần và đủ để góc 360^o chia được n phần bằng nhau

Với góc G = 90^o,  hệ thức (2) được thoả với m = 2 và F₁ = 3
=> Có thể chia 3 một góc vuông bằng thước thẳng và compa

Với góc G = 72^o, hệ thức (2) được thoả với m = 0, F₁ = 3, F₂ = 5
=> Góc 72^o có thể chia 3  bằng thước thẳng và compa.

Với góc G = 27^o, hệ thức (2) được thoả với m = 2 và F₂ = 5
=> Góc 27^o có thể chia 3 bằng thước thẳng và compa.

Với góc G = 60^o, hệ thức (2)  rút gọn lại là:

Ta có thể chọn m = 0 nhưng không có các số Fermat nguyên tố khác nhau bằng 25 hay có tích số bằng 25, nên hệ thức (3) không thể thoả được.
=> Góc 72^o không thể chia 5 được bằng thước thẳng và compa.

Với ThuanHoa’s corollary, từ đây người ta không còn phải mất thì giờ tìm xem khi nào thì một góc cho sẵn có thể chia thành nhiều phần bằng nhau bằng cách chỉ dùng thước thẳng và compa.

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)