ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC15 – Giả định Collatz và Giả định Thuận Hoà 1 và 2

 

 Bạn bắt đầu bằng một số bất kỳ. Nếu số đó chẳn, bạn chia số đó cho 2. Nếu số đó là số lẻ, nhân số đó với 3 rồi cộng thêm 1. Cừ thế mà lặp lại nhiều lần, thì sau cùng, bạn sẽ nhận thấy điều gì lạ xảy ra?  Nếu bạn tiếp tục đủ lâu, thì sau cùng bạn sẽ nhận được số 1, và nếu bạn vẫn tiếp tục, thì  ba số 4, 2, 1  sẽ tiếp tục xuất hiện đi xuất hiện lại một cách tuần hoàn!

 Lấy vài thí dụ:

N = 3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 4; 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Nhà toán học tên Lothar Collatz đã nhận thấy tính chất đó từ năm 1937. Ông nhận thấy rằng dù bạn bắt đầu bằng số nào, thì sau cùng bạn cũng nhận được số 1, nhưng ông không chứng minh được tính chất đó. Ông kể tính chất đó với những nhà toán học khác như một giả định và tính chất đó, cũng gọi là bài toán “3N + 1”,  đã mau trở thành thông dụng và là một thách thức cho những người thích tò mò! (Chú thích: Một tính chất được cho là đúng do thực nghiệm nhưng chưa chứng minh được gọi là giả định” – conjecture. Khi được chứng minh là đúng, thì giả định đó trở thành “định lý” – theorem)

 Các nhà toán học vẫn tiếp tục tìm cách giải thích hay phủ nhận giả định của Collatz trong 50 năm nay. Với sự hổ trợ của computer, họ đã nghiệm được rằng giả định đó đúng với mọi số nhỏ hơn 5,764,607,523,034,234,880. Dù sao, đó chưa phải là một chứng minh, biết đâu có một số lớn hơn số đó mà không dẩn về 1? Đến đây, Thuận Hoà xin mở dấu ngoặc để nói qua về 2 cách chứng minh có thể có cho giả định của Collatz. Muốn chứng minh rằng giả định đó đúng, bạn phải bắt đầu bằng một số “N” bất kỳ, mà không xác định rằng “N’ bằng bao nhiêu. Muốn chứng minh rằng giả định đó sai, bạn chỉ cần chứng minh giả định đó sai với một số nào đó. Bạn kết luận được giả định đó sai khi bắt đầu với một số nào đó, bạn được một dãy số càng ngày càng lớn hoặc bạn gặp lại một số đã đi qua mà số đó không phải là 1. Đóng ngoặc.

 Gàn đây, nhà toán học Gerhard Opter ở đại học Hamburg, học trò của Collatz, nói rằng ông ta đã chứng minh được giả định của Collatz là đúng với một bài viết đăng trong nội san của đại học Hamburg và sẽ đăng trong tạp chí toán học “Mathematics of Computation” để các nhà toán học khác thẩm định (Theo bản tin Toán học của CSIRO ngày 21 tháng 6 năm 2011). Tin giờ chót cho biết ngày 17/06/2011, ông Opter đã rút lại bài viết của mình vì chưa đầy đủ và như vậy thì bài toán “3N + 1” vẫn còn là một giả định (Theo bản tin Toán học của CSIRO ngày 5 tháng 7 năm 2011).

 Phần lớn những chứng minh ban đầu có thể phạm vài lỗi lầm, nhưng sau khi hiệu chính, chứng minh có thể chấp nhận được. Tuy nhiên, có những lỗi lầm quá lớn có thể làm cho chứng minh hoàn toàn vô dụng.
Không ai chắc chắn là một chứng minh mới là đúng. Chứng minh phải được thẩm định bởi nhiều nhà toán học khác nhau,thâm sâu trong ngành toán liên quan. Chỉ khi nào giả định được xác định là đúng thì kết quả mới được đăng vào các tạp chí có uy tính trong ngành

 Theo giáo sư Peter Cameron ở Queen Mary, University of London, thì đó là một bài toán rất hấp dẩn vì người ta có thể phát biểu nó một cách đơn giản. Ai cũng nghĩ rằng mình có thể thử chứng minh xem. Phần lớn, ai biết computer đều đã thử viết một chương trình để tìm một số mà không dẩn đến kết quả sau cùng là 1. (Nhưng đều thất bại!).

 Nhà toán học Hung gia lợi Paul Erdos có lần đã nói về giả định Collatz “Toán học chưa sẵn sàng cho những bài toán như thế” (vì thời đại computer chưa đến) và ông đã dành $500 làm phần thưởng cho ai giải được. Trong báo cáo toán học năm 2011, người ta thấy rằng 50% các bài toán chưa giải được đã lâu trong lịch sữ được giải sau 53 năm.  Giả định của Collattz chưa giải đuợc đã hơn 70 năm rồi, chắc rồi cũng sớm được làm sáng tỏ.

 Giả định Thuận Hoà

 Giả định Collatz  có thể áp dụng vào các trường hợp khác hay không?. Sau khi thử nghiệm với rất nhiều số bất kỳ, Thuận Hoà đi đến nhận xét sau đây:

 Giả định Thuận Hoà 1:       Bài toán “5N + 1”

  Bắt đầu từ một số N bất kỳ, ta suy ra số kế tiếp M  theo  quy luật sau đây:

           –     Nếu N chia đúng cho 2 hay 3  (hai số nguyên tố nhỏ hơn 5),
                 thì chia   N 
cho số  đó để có số kế tiếp M. Cứ thế tiếp tục cho
                 đến khi được một số 
không chia đúng cho 2 và 3.
                  Để ý rằng để cho nhanh chóng, ta có thể chia N cho những luỹ
                  thừa 
của 2 như 4 và luỹ thừa của 3 như 9 nếu các phép chia là
                 chia đúng.

            –    Nếu N không chia đúng cho 2 và 3, thì nhân N với 5 rồi cộng
                 thêm 1  
để có số M.

                    Áp dụng quy luật đó nhiều lần thì sau cùng ta sẽ nhận được số 1 dù số
                    bắt đầu là bao
nhiêu. 

Nhắc  lại vài tính chất chia đúng:

            –    Một số chia đúng cho 2 khi số đó chẳn
            –    Một số chia đúng cho 4 khi số hợp bởi 2 con số cuối cùng chia đúng cho 4
            –    Một số chia đúng cho 3 khi có tổng số các con số chia đúng cho 3
            –    Một số chia đúng cho 9 khi có tổng số các con số chia đúng cho 9
            –    Một số chia đúng cho 5 khi tận cùng bằng 0 hay 5 

Thí du:      N =   5     =>   26, 13, 66, 33, 11, 56, 14, 7, 36, 9, 3, 1
                       N = 13     =>     66, 33, 11 => 1   xem N = 5
                        N = 17    =>    86, 43, 216, 54, 27, 9, 3, 1
                       N = 19    =>    96, 48, 12, 3, 1
                       N = 23    =>    116, 29, 146, 73, 366, 183, 61, 306, 153, 51, 17  => 1 
                                                   xem N = 17
                        N = 25    =>    126, 63, 21, 7, 36, 9, 3, 1
                        N = 29    =>    146 => 1  theo  N = 23
                        N = 235  =>   1176, 294, 147, 49, 246, 123, 41, 206, 103, 516,
                                                   129, 43 => 1  xem N = 17
                        N = 419 =>     2096, 524, 131, 656, 164, 41 => 1  xem N = 235
                        N = 821 =>     4106, 2053, 10266, 5133, 1711, 8556, 2139, 713, 3566, 
                                                    1783, 8916, 2229, 743, 3716, 929, 4646, 2323, 11616,
                                                    2904, 726, 242, 121, 606, 303, 101, 506, 253, 1266, 422,
                                                    211, 1056, 264, 66,  22, 11 => 1   xem N = 5
                        N =  2317 =>  11586, 5793, 1931, 9656, 2414, 1207, 6036, 1509, 503,
                                                     2516, 629, 3146, 1573, 7866, 3933, 437, 2186, 1093,
                                                     5466, 2733, 911, 4556, 1139, 5696, 1424, 356, 89, 446,
                                                     223, 1116, 279, 31, 156,  78, 26, 13 = 1    xem N = 13

 

 Giả định Thuận Hoà 2:       Bài toán “7N + 1”

 Bắt đầu từ một số N bất kỳ, ta suy ra số kế tiếp M  theo  quy luật sau đây:

             –   Nếu N chia đúng cho 2, 3  hay 5 (ba số nguyên tố nhỏ hơn 7), thì chia
                 N  cho 
số đó để có số kế tiếp M. Cứ thế tiếp tục cho đến khi được một số
                 không  chia 
đúng cho 2 , 3 và 5.
                 Để ý rằng để cho nhanh chóng, ta có thể chia N cho những luỹ thừa của
                2 như 4, 
luỹ thừa của 3 như 9, luỹ thừa của 5 như 25 và tích số 2×5 = 10,
                 nếu các phép 
chia là chia đúng.

            –   Nếu N không chia đúng cho 2, 3 và 5, thì nhân N với 7 rồi cộng thêm 1
                để có số M.

       Áp dụng quy luật đó nhiều lần thì sau cùng ta sẽ nhận được số 1 dù số bắt đầu
       là bao n
hiêu.

Thí du:        N =  11    =>  78, 39, 13, 92, 23, 162, 81, 27, 9, 3, 1
                         N = 17    =>  120, 12, 3, 1
                        N = 19    =>    134, 67, 470, 47, 330, 33, 11 => 1   xem N = 11
                        N = 23    =>    162, 81 => 1   xem N = 11
                        N = 29    =>    204, 102, 51, 17 => 1   xem N = 17
                        N = 31    =>    218, 109, 764, 191, 1338, 669, 223, 1562, 781, 5468, 
                                                   1367, 9570, 957, 319, 2234, 1117, 7820, 782, 391, 2738,
                                                   1369, 9584, 2396, 599, 4194,2097, 699, 233, 1632, 408,
                                                   102 => 1  xem N = 29
                        N = 37    =>   260, 26, 13 = > 1   xem N = 11
                        N = 237  =>  1660, 166, 83, 582, 291, 97, 680, 68, 17 => 1   xem N = 17
                        N = 541   =>  3788, 947, 6630, 663, 221, 1548, 387, 129, 43, 302,
                                                   151, 1058, 529, 3704, 926, 463, 3242, 1621, 11348, 2837,
                                                   19860, 1986, 993,331, 2318, 1159, 8114, 4057, 28400,
                                                   2840, 284, 71, 498, 249, 83, 582, 291, 97 => 1 
                                                   xem N = 237
                        N = 929   =>  6504, 1626, 813, 271, 1898, 949, 6644, 1661, 11828, 2907,
                                                   969, 323, 6784, 1696, 424, 106, 53, 372, 93, 31 => 1  
                                                   xem N = 31
                        N = 2513  =>  17592, 4398, 2199, 733, 5132, 1283, 8982, 998, 499, 3494,
                                                    1747, 12230, 1223, 8562, 4281, 1427, 9990, 999, 111,
                                                    37 => 1    xem  N = 37

 Cũng như bài toán “3N + 1”, hai bài toán “5N + 1” và “7N + 1”  chỉ là 2 giả định của Thuận Hoà

 Đã nói là giả định thì chúng có thể đúng, có thể sai. Hiện nay, Thuận Hoả chưa chứng minh được là hai giả định Thuân Hoà 1 và Thuận Hoà 2 là đúng hay sai.

Chứng minh đúng là rất khó, có lẽ phải đợi đến khi ông Gerhard Opter  chứng minh được giả định Colatz là đúng thì may ra.  Nhưng chứng minh hai giả định của Thuận Hoà là sai thì độc giả, nhất là các bạn trẻ có kiến thức về điện toán, có thể giúp Thuận Hoà được.

 Độc giả nào tìm được một số mà không dẩn đến 1 theo hai giả định Thuận Hoà 1 hay Thuận Hoà 2, xin cho Thuận Hoả biết qua điện thư  hvhoa@tpg.com.au.  Thành thật cám ơn.

 Hồ văn Hoà  (Thuận Hoà)
Sydney, July 2011

2 Responses to “KQNC15 – Giả định Collatz và Giả định Thuận Hoà 1 và 2”

  1. ht333 said

    Giả định Thuận Hoà 1 “5N+1” => ba số 2, 3, 1 sẽ tiếp tục xuất hiện đi xuất hiện lại một cách tuần hoàn.
    Giả định Thuận Hoà 2 “7N+1” => ba số 2, 4, 1 sẽ tiếp tục xuất hiện đi xuất hiện lại một cách tuần hoàn.

    • thuanhoa said

      Thân gởi bạn ht333,

      Nhận xét của bạn đúng, nhưng không cần thiết vì giả định ngừng lại khi số 1 đầu tiên nhận được.

      Cám ơn bạn,
      Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: