ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC17 – Tìm tỉ số các trận đấu bóng tròn từ bảng điểm – Phương pháp Thuận Hoà

Lời nói đầu

Bài nầy đã có đăng trong mục “Chuyện Phiếm Khoa Học” (xem “Phiếm CP002, kỳ BK002). Vì nhận thấy bài có tính cách khảo cứu, đã nêu lên được một phương pháp đặc biệt để giải một loại toán đặc biệt nên Thuận Hoà đem vào mục “Kết Quả Nghiên Cứu” với vài bổ túc và phương pháp đó sẽ được gọi là “Phương pháp Thuận Hoà” để giúp cho sự tham khảo sau nầy được dễ dàng.

Đại cương về bảng điểm

Ở đây, chúng ta chỉ xét bảng điểm của các đội bóng tròn trong một toán (hay nhóm) cùng tranh một giải nào đó hay cùng tranh nhau để được vào vòng kế tiếp. Một toán thường có 4 hay 5 đội, tranh theo thể thức vòng tròn. Hai đội trong toán có thể gặp nhau 1 hay 2 trận (Nếu có lượt đi và lượt về). Kết quả của các trận đấu của các đội trong toán được ghi vào 1 bảng điểm, mỗi đội 1 hàng với những chi tiết: số trận đá, số trận thắng, hòa hay bại, số gôn đá lọt lưới đối phương, số gôn bị đá lọt, và sau cùng là số điểm đạt được (thí dụ thắng 3 điểm, hòa 1 điểm và bại 0 điểm). Điều đặc biệt là không bao giờ bảng điểm có ghi tỉ số các trận đấu giữa các đội trong toán.

Dưới đây là thí dụ của bảng điểm của một toán gồm 4 đội bóng A, B, C và D sắp theo thứ tự điểm:

Có bảng điểm có thêm cột “Hiệu số bàn thắng/bại”. Cột nầy thật ra không cần thiết khi đã có 2 cột “Gôn thắng”, “Gôn bại”. Cũng có nhiều bảng điểm đơn giản hơn, không có cả 3 cột “Trận Thắng”, “Trận Hoà” và “Trận Bại”! Chi tiết trong các cột nầy thường có thể được suy ra từ cột “Điểm” của các đội.

Bài toán chúng ta sẽ giải cần những chi tiết rất sau đây:

• Số đội trong toán. Để đơn giản, giả sử toán có 4 đội A, B. C và D

• Số trận đấu của mỗi đội bằng nhau và bằng 3. Mỗi đội đấu với 3 đội còn lại (các trận đều tranh trong nước tổ chức nên không có lượt đi, lượt về!)

• Chi tiết chánh là tổng số gôn thắng và gôn bại của mỗi đội sau khi tất cả các trận đấu đều kết

• Chi tiết phụ là các trận Thắng, Hoà hay Bại của các đội. Các chi tiết nầy chỉ giúp giới hạn các trường hợp có thể xảy ra. Ba cột nầy đôi khi không cần thiết phải có hay được thay thế bằng cột “Điểm”. Cũng có thể thay thế bằng một chi tiết phụ, thí dụ như “Đội A có 2 trận thắng”.

Mục đích của bài toán là “Tìm tỉ số các trậu đấu giữa các đội trong toán”.


Phương pháp Thuận Hoà

Gọi (xy)t là số gôn đội X đá lọt lưới đội Y và (xy)b là số gôn độ X bị đội Y đá lọt.

Khi hoán vị 2 đội X, Y thì số gôn thắng bại cũng hoán vị theo, tức là

(xy)t = (yx)b           (I)              và
(xy)b = (yx)t           (II)

Tỉ số của trận đấu giữa 2 đội X và Y biết được khi chúng ta tính được:

(xy)t = Số gôn đội X đá lọt lưới đội Y
(yx)t = Số gôn đội Y đá lọt lưới đội X hay
(xy)b = Số gôn đội X bị đội Y đá lọt lưới

Đội X thắng, thua hay hoà đội Y khi hiệu số (xy)t – (xy)b lần lượt lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng 0.

Kết quả trận đấu giữa 2 đội X và Y được trình bày như sau: X/Y = (xy)t – (xy)b

Tóm lại, phương pháp tìm tỉ số các trận đấu trong toán đại khái như sau:

•     Từ gôn thắng, gôn bại của các đội, thiết lập một hệ thống phương trình các (xy)t, (xy)b, …

•     Giải hệ thống phương trình trên bằng cách áp dụng các tính chất (I) và (II)

•     Xét các trường hợp có thể xảy ra.

Thí dụ:
a)  (ab)t + (ac)t + (ad)t = 0 => Xét 1 trường hợp
(ab)t = 0, (ac)t = 0, (ad)t = 0

b)   (ab)t + (ac)t + (ad)t = 1 => Xét 3 trường hợp:
(ab)t = 1, (ac)t = 0, (ad)t = 0
(ab)t = 0, (ac)t = 1, (ad)t = 0
(ab)t = 0, (ac)t = 0, (ad)t = 1

c )  (ab)t + (ac)t + (ad)t = 2 => Xét 6 trường hợp:
(ab)t = 2, (ac)t = 0, (ad)t = 0
(ab)t = 1, (ac)t = 1, (ad)t = 0
(ab)t = 1, (ac)t = 0, (ad)t = 1
(ab)t = 0, (ac)t = 2, (ad)t = 0
(ab)t = 0, (ac)t = 1, (ad)t = 1
(ab)t = 0, (ac)t = 0, (ad)t = 2

d )  (ab)t + (ac)t + (ad)t = 3 => Xét 10 trường hợp:
(ab)t = 3, (ac)t = 0, (ad)t = 0
(ab)t = 2, (ac)t = 1, (ad)t = 0
(ab)t = 2, (ac)t = 0, (ad)t = 1
(ab)t = 0, (ac)t = 3, (ad)t = 0
(ab)t = 0, (ac)t = 2, (ad)t = 1
(ab)t = 1, (ac)t = 2, (ad)t = 0
(ab)t = 0, (ac)t = 0, (ad)t = 3
(ab)t = 1, (ac)t = 0, (ad)t = 2
(ab)t = 0, (ac)t = 1, (ad)t = 2
(ab)t = 1, (ac)t = 1, (ad)t = 1

Tương tự với các (ab)b, (ac)b, (ad)b, v v …….

Các trường hợp phải xét có thể được loại bớt bằng những chi tiết trong các cột “Trận Thắng”, “Trận Hoà”, “Trận Bại” (nếu có), trong cột “Điểm” (nếu có) hay trong những “Chi tiết phụ”, ….

Tuỳ trị số của gôn thắng và gôn bại, lời giải có thể đơn giản hay phức tạp vì nhiều trường hợp đặc biệt phải xét. Đôi khi phải nhờ đến phương tiện điện toán (chương trình) để giải quyết.

Áp dụng phương pháp Thuận Hoà vào bảng điểm với chi tiết phụ như sau:

Lời giải:

Tổng số gôn đội A đá lọt lưới các đội B, C và D bằng 2, vậy:
(ab)t + (ac)t + (ad)t = 2                       (1)

Tổng số gôn đội A bị các đội B, C và D đá lọt bằng 1, vậy:
(ab)b + (ac)b + (ad)b = 1                     (2)

Tương tự với các đội B, C và D:
(ba)t + (bc)t + (bd)t = 3                      (3)
(ba)b + (bc)b + (bd)b = 1                    (4)
(ca)t + (cb)t + (cd)t = 0                      (5)
(ca)b + (cb)b + (cd)b = 6                    (6)
(da)t + (db)t + (dc)t = 3                     (7)
(da)b + (db)b + (dc)b = 0                   (8)

Vì số gôn phải là số nguyên nên phương trình (5) và (8) cho:
(ca)t = 0, (cb)t = 0, (cd)t = 0                      (9)
(da)b = 0, (db)b = 0, (dc)b = 0                   (10)

Hay (ac)b = 0, (bc)b = 0, (dc)b = 0            (11)
(ad)t = 0, (bd)t = 0, (cd)t = 0         (12)

(1) => (ab)t + (ac)t = 2                    (13)
(2) => (ab) b + (ad)b = 1                  (14)
(3) => (ba)t + (bc)t = 3                    (15)
(4) => (ba)b + (bd)b = 1                   (16)

Theo phương trình (16), 2 trường hợp có thể đã xảy ra:

Trường hợp (a):    (ba)b = 0, (bd)b = 1     hay
(ab)t = 0, (db)t = 1
Trường hợp (b):   (ba)b = 1, (bd)b = 0      hay
(ab)t = 1, (db)t = 0

Xét trường hợp (a):    (ba)b = 0, (bd)b = 1     hay
(ab)t = 0, (db)t = 1

(13) => (ac)t = 2 – (ab)t = 2 – 0 = 2
Vì (ac)t = 2 và (ac)b = 0     nên        A/C = 2 – 0

Vì tổng số gôn thắng của đội A là 2 và 2 gôn thắng nầy đã xảy ra trong trận A đấu với C, nên A không thể có trận thắng nào nữa khi gặp 2 đội B và D, tức là A chỉ có 1 trận thắng mà thôi. Điều nầy trái với chi tiết phụ là A có 2 trận thắng.

Tóm lại trường hợp (a) không chấp nhận được, tức là trường hợp (b) đã phải xảy ra.

Xét trường hợp (b):   (ba)b = 1, (bd)b = 0      hay     (ab)t = 1, (db)t = 0

(13) => (ac)t = 2 – (ab)t = 2 – 1 = 1
Vì  (ac)t = 1 và (ac)b = 0        nên          A/C = 1 – 0
Vì  (bd)t = 0 và (bd)b = 0      nên         B/D = 0 – 0

Theo phương trình (14), 2 trường hợp có thể đã xảy ra:

Trường hợp (c):   (ab)b = 1, (ad)b = 0      hay
(ba)t = 1, (da)t = 0
Trường hợp (d):   (ab)b = 0, (ad)b = 1      hay
(ba)t = 0, (da)t = 1

Xét trường hợp (c):    (ab)b = 1, (ad)b = 0      hay
(ba)t = 1, (da)t = 0

Vì  (ab)t = 1  và (ab)b = 1     nên       A/B = 1 – 1
Vì  (ad)t = 0 và (ad)b = 0    nên       A/D = 0 – 0

Trong trường hợp (c), đội A thắng đội C nhưng hòa với 2 đội B và D, trái với chi tiết phụ là đội A có 2 trận thắng.
Tóm lại, trường hợp (c) không thể đã xảy ra và trường hợp (d) đã xảy ra.

Xét trường hợp (d):   (ab)b = 0, (ad)b = 1      hay      (ba)t = 0, (da)t = 1

Vì  (ab)t = 1  và  (ab)b = 0       nên       A/B = 1 – 0
Vì  (ad)t = 0  và  (ad)b = 1       nên       A/D = 0 – 1

(15) => (bc)t = 3 – (ba)t = 3 – 0 = 3
Vì  (bc)t = 3  và  (bc)b = 0      nên        B/C = 3 – 0

(6) => (cd)b = 6 – (ca)b – (cb)b = 6 – (ac)t – (bc)t = 6 – 1 – 3 = 2
Vì  (cd)t = 0  và  (cd)b = 2       nên      C/D = 0 – 2

Lời giải cho bảng điểm trên chỉ xử dụng số liệu trong 2 cột “Gôn thắng” và “Gôn bại” và 1 chi tiết phụ là “Đội A có 2 trận thắng” .

Hy vọng rằng phương pháp Thuận Hoà có thể giúp quí vị độc giả ham thích môn bóng tròn tìm lại tỉ số của các trận đấu trong các bảng điểm đã qua.

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: