ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC19 – Một bài toán hay (2)

 

Tính diện tích của tam giác vuông ABC
có một đường cao bằng 60 cm.

 

Kỳ trước, chúng ta đã giải bài toán tính diện tích của một tam giác vuông biết số đo của một trung tuyến của tam giác. Lời giải đó có được là nhờ 2 điểu kiện:

            (i)    Tam giác thoả định lý Pythagore
            (ii)   Số đo đặc biệt của đường trung tuyến duy nhất của tam giác

Vì tính chất không xác định của đường trung tuyến cho sẵn, nên bài toán có 2 lời giải.

Kỳ nầy, Thuận Hoà mời độc giả cùng giải một bài toán tương tự là tính diện tích của một tam giác vuông biết số đo của một đường cao là 60 cm. Độc giả cũng đoán được là bài toán có 2 lời giải vì tính chất không xác định của đường cao: 60 cm có thể là số đo của một cạnh góc vuông của tam giác hay số đo của đường cao phát xuất từ đỉnh góc vuông và thẳng góc với cạnh huyền.

*     *     *

 Giả sử tam giác ABC vuông tại A.  Đường cao dài 60 cm có thể là số đo của AB hay AC  (xem Hính 1) và cũng có thể là số đo của đoạn AH phát xuất từ A Và thẳng góc với BC (xem Hình 2). 

1)      Trường hợp 1:  Đường cao là 1 cạnh góc vuông.

Giả sử AC = 60 cm. Ta có:                                                                                          
 
Diện tích ABC:  S = ½ AB x AC  
                                  =   ½ x AB x 60  = 30 AB        (1)

Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:

                    =>   AB2 + AC2  =  BC2
                    =>   AB2 + 602    =  BC2            (2)

= >   (AB,60,BC) là 1 bộ ba Pythagore.

(11,60,61) là 1 bộ ba Pythagore. Thật vậy:
           112 + 602  =  121 + 3600  = 3721  =  612

Suy ra, một lời giải của phương trình (2) là AB = 11 cm,
BC = 61 cm.
          
=>     Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ x 11 x 60  =  330 cm2


2)      Trường hợp 2:  Đường cao thẳng góc với cạnh huyền

AH = 60 cm      
                                                                                                                 
Diện tích ABC:    S  =  ½ AH x BC  =  ½ x 60 x BC                              
Diện tích ABC cũng bằng ½ AB x AC

                 =>       AB x AC = 60 BC                  (3)
 
Định lý Pythagore áp dụng vào tam giác vuông ABC:

                             AB2 + AC2   =  BC2              (4)

 Theo  (3) và (4),  nếu ta tìm được 1 bộ 3 Pythagore mà tích số của 2 số đầu bằng 60 lần  số thứ ba, thì ta sẽ tìm được lời giải của bài toán.

 Thật vậy: (75,100,125) là 1 bộ ba Pythagore vì

                     752 + 1002  =  5625 + 10000  =  15625  =  1252
            
Ta có AB = 75, AC = 100  và BC = 125

Vì       75 x 100 = 7500  =  60 x 125  =>  AB x AC =  AH x BC

=>  Diện tích ABC  =  ½ AH x BC = ½ x 60 x 125  =  3,750 cm2

 
Nhận xét về lời giải

Lời giải trên là một lời giải đặc biệt cho một bài toán đặc biệt với đường cao cho sẵn có độ dài đặc biệt thích ứng để áp dụng các bộ ba Pythagore. Nếu đương cao cho sẵn có số đo bất kỳ thì chưa chắc có lời giải nào cho bài toán!


Thuận Hoà

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: