ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC20 – Ngũ giác đều có diện tích cho sẵn (1)

Phần 1 – Đa giác và hình vuông có cùng diện tích

Kết quả nghiên cứu nầy có 2 phần:

Phần 1: Đa giác và hình vuông có cùng diện tích
Phần 2: Vẽ ngũ giác đều có diện tích cho sẵn – Phương pháp Thuận Hoà

Bằng cách sử dụng những định lý hình học, các nhà toán học cổ Hy lạp có thể vẽ được hình vuông có cùng diện tích với một đa giác bất kỳ bằng thước kẻ và compa.

Trong bài nầy, tác giả giới thiệu 3 trường hợp:

Trường hợp 1:  Đa giác là một tam giác. Trường hợp nầy được xem như là một bổ đề (Lemma) để chứng minh trường hợp của đa giác tổng quát.

Trường hợp 2: Đa giác là một tứ giác (4 cạnh) bất kỳ

Trường hợp 3: Đa giác là một ngũ giác (5 cạnh) bất kỳ

Trường hợp tam giác

Có thể vẽ một hình vuông có củng diện tích với một tam giác bất kỳ
Xét tam giác bất kỳ ABC có cạnh AB = a và đường cao phát xuất từ đỉnh A: AH = h.
Xem Hình 1. Diện tích của tam giác bằng:

                      dt (ABC) = ½ a.h

Cách vẽ hình vuông có cùng diện tích với tam giác có thể thực hiện như sau:

a) Trên một đường thẳng bất kỳ, vẽ 2 đoạn thẳng MK = ½ a và KN = h

b) Vẽ vòng tròn đường kính MN.

c) Đường thẳng thẳng góc với MN tại K cắt vòng tròn tại 2 điểm P và Q.

Vì MN là đường kính của vòng tròn nên P và Q đối xứng qua MN => KP = KQ

d) Theo tính chất của phương tích đối với vòng tròn, ta có:

                KM,KN = KP, KQ = KP2    =>     KP2 = (1/2 a).h = dt (ABC)

e) KP bằng cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích cuả tam giác ABC.

Trường hợp tứ giác

Có thể vẽ một hình vuông có diện tích bằng với diện tích của một tứ
giác bất kỳ cho sẵn.

Xét tứ giác ABCD bất kỳ. Xem Hình 2.
Từ đỉnh C, vẽ đường thẳng song song với đường chéo BD, cắt cạnh AB nối dài tại F.
Hai tam giác BCD và BFD có cùng cạnh đáy BD và đường cao phát xuất từ C và F bằng nhau, nên có diện tích bằnh nhau:

= >    dt (BCD) = dt (BFD)

Suy ra: dt (ABCD) = dt (ABD) + dt (BCD)  = dt (ABD) + dt (BFD) = dt (AFD)

= > Diện tích tứ biác ABCD bằng diện tích tam giác AFD.

Theo trường hợp 1, biết một cạnh và đường cao tương ứng với cạnh của tam giác AFD, ta có thể vẽ một hình vuông có cùng diện tích với tam giác, tức là cùng diện tích với tứ giác ABCD.

Từ trường hợp đơn giản của tứ giác, ta có thể tuần tự suy ra trường hợp tổng quát của một đa giác bất kỳ, thí dụ như trường hợp sau đây.

Trường hợp ngũ giác

Xét ngũ giác ABCDE bất kỳ.
Đường song song với đường chéo DA qua đỉnh E cắt cạnh AB nối dài tại M.
Đường song song với đường chéo DB qua đỉnh C cắt cạnh AB nối dài tại N.

 

 

Ta có:

          dt (ADE) = dt (ADM),   dt (BDC) = dt (BDN)

= >    dt (ABCDE) = dt (ABD) + dt (ADE) + dt (BDC)
                            = dt (ABD) + dat (ADM) + dt (BDN) = dt (DMN)

Tóm lại: diện tích ngũ giác ABCDE bằng diện tích tam giác DMN.

Ta có thể vẽ một hình vuông có cùng diện tích với tam giác DMN, tức là cùng diện tích với ngũ giác ABCDE.

Tài liệu tham khảo:

Benjamin Bold, “Famous Problems of Geometry”, Dover Publications, Inc., 1969
Heinrich Dorrie, “100 Great Problems of Elementary Mathematics”, Dover Publications, Inc, 1965

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: