ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC21 – Ngũ giác đều có diện tích cho sẵn (2)


Phần 2 – Vẽ ngũ giác đều có diện tích cho sẵn

(Phương pháp Thuận Hoà)


Kết quả nghiên cứu nầy có 2 phần:

Phần 1: Đa giác và hình vuông có cùng diện tích
Phần 2: Vẽ ngũ giác đều có diện tích cho sẵn (Phương pháp Thuận Hoà)

Trong bài “Ngũ giác đều có diện tích cho sẵn (1)”, ta đã xét trường hợp của một ngũ giác bất kỳ ABCDE và cách vẽ một tam giác DMN có cùng diện tích với ABCDE. Vì có thể vẽ một hình vuông có cùng diện tích với một tam giác bất kỳ cho sẵn, nên có thể vẽ một hình vuông có cùng diện tích với một ngũ giác bất kỳ cho sẵn.

Cho ngũ giác bất kỳ ABCDE. Vẽ EM // DA, CN // DB
=> dt (ADE) = dt (ADM), dt (BDC) = dt (BDN
=> dt (ABCDE) = dt (DMN)

Trong phần 2 nầy, chúng ta sẽ áp dụng tính chất đã tìm được để tìm cách vẽ một ngũ giác đều có diện tích S cho sẵn.

Trước hết, ta khảo sát xem Hình 3 sẽ có những đặc điểm như thế nào khi ABCDE là mộr ngũ giác đều (5 cạnh bằng nhau) như trong Hình 4 dưới đây.


Trường hợp ABCDE là một ngũ giác đều, thì:

a) Tổng số góc của mộg ngũ giác đều bằng 180o x 3 = 540o
=> Mỗi góc của ABCDE bằng 540o /5 = 108o

b) Tam giác DEA cân ở E có góc DEA = 108o
=> Góc EDA = góc EAD = ½(180o – 108o) = 36o

Tương tự:   Góc CDB = 36o

Suy ra: Góc ADB = Góc EDC – góc EAD – góc CDB
                              = 108o – 36o – 36o = 36o

c) Vì đối xứng nên 2 tam giác DAB và DMN cân tại D
=> Góc DAB = Góc DBA = ½(180o – góc ADB)
=    ½(180o – 36o) = 72o

d) Góc EAM = 180o – góc EAB = 180o – 108o = 72o
     Góc EMA = góc DAB = 72o    (vì ME // AD)

=> Tam giác EMA cân tại E => EM = EA = ED
=> Tam giác EDM cân tại E
=> Góc EDM = góc EMD = góc ADM      (vì DA // ME)
=> DM là phân giác của góc ADE
=> Góc ADM = ½ góc ADE = ½ 36o = 18o

Tương tự:    Góc BDN = 18o

e) Tam giác cân DMN có
     Góc MDN = góc MDA + góc ADB + góc BDN
                         = 36o + 18o + 18o = 72o
=> Góc DMN = góc DNM = ½ (180o – góc MDN) = ½ (180o – 72o) = 54o

f) Tóm lại:

–   Các đường DM, DA, DH, DB, DN chia góc EDC = 108o thành 6 góc 
     bằng nhau mỗi góc bằng 18o. DH là phân giác của góc ADB.

–    ME // AD và NC // BD


Cách vẽ ngũ giác đều có diện tích cho sẵn S

(Phương pháp Thuận Hoà)

Cách vẽ ngũ giác đều có diện tích S gồm các bước như sau:

1) Vẽ góc uDv có số đo 108o

2) Chia góc uDv thành 6 góc bằng nhau, mỗi góc 18o bởi các đường thẳng
Dx, Dy, Dz, Ds, Dt.

3) Trên Dz, phân giác của góc uDv, lấy điểm K sau cho DK = 1
Đường thẳng thẳng góc với Dz tại K cắt Dx tại I và Dt tại J

4) Tam giác cân DIJ có góc IDJ = 72o và góc DIJ = góc DJI = 54o
=> IJ = 2IK = 2DK.cotg54o
=> dt (DIJ) = ½ DK.IJ = cotg54o

5) Nếu DMN là tam giác có diện tích bằng diện tích cho sẵn S của ngũ giác đều, thì:
=> dt (DMN) / dt (DIJ) = S / cotg54o = S tg54o

Nếu MN thẳng góc với Dz tại H thì, vì 2 tam giác DMN và DIJ đồng dạng:
Dt (DMN) / dt (DIJ) = (DH/DK)2
= > (DH / DK)2 = S tg54o
   
Hệ thức trên xác định được điểm H trên đường Dz.

Đường thằng thẳng góc với Dz tại H cắt Dx, Dt, Dy, Ds lần lượt tại M, N, A, B
AB là một cạnh của ngũ giác đều có diện tích S.

6) Đường thẳng qua M và song song với Dy cắt Du tại E và đường thẳng qua N và song song với Ds cắt Dv tại C.

                  ABCDE là ngũ giác đều có diện tích S cho sẵn.

Nhận xét: Theo trên  thì không thể vẽ được điểm H chỉ bằng thước và compa. Phương pháp chỉ giúp vẽ được một cách gần đúng một ngũ giác đều có diện tích S cho sẵn.

Thuận Hoà

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: