ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC27 – Cách tạo Ma Phương có bậc là bội số của 4 cộng 2



Ma phương (Magic square) là một dãy gồm n2 số nguyên dương sắp xếp trong một hình vuông kích thước n x n chia thành n2 ô vuông với n hàng và n cột, sao cho tổng số các số trên mỗi hàng, mỗi cột và trên hai đường chéo đều bằng nhau. Tổng số chung nầy gọi là Hằng số Ma phương (Magic constant).  Số n gọi là Bậc của Ma phương.
 
Thông thường dãy số dùng trong Ma phương kích thước n x n  là các số liên tiếp từ 1 đến n2.  Hằng số của ma phương kích thước n x n tạo bởi n2 số liên tiếp từ 1 đến n2 bằng:

                                    Hằng số Ma phương = ½ n(n2 + 1)

 
Ma phương có bậc là bội số của 4 cộng 2 khi n = 4k + 2 = 2(2k + 1), k là một số nguyên bất kỳ,
thí dụ: n = 6, 10, 14, ….

Phương pháp tạo Ma phương có bậc là bội số của 4 cộng 2 không đơn giản như trong 2 trường hợp đã xét trước: Ma phương bậc lẻ và Ma phương có bậc là một bội số của 4 (Xem 2 bài KQNC25KQNC26)
 
Phương pháp tạo Ma phương có bậc là bội số của 4 cộng 2 có thể giải thích qua thí dụ dưới đây.

Cách tạo một Ma phương bậc 6, kích thước 6×6, bằng các số từ 1 đến 36.
Ma phương nầy có Hằng số bằng 111.

Phương pháp gồm những bước như sau:

Bước 1:   Tạo một Ma phương bậc 3

Xem bài “Cách tạo Ma phương bậc lẻ”.

image002

Bước 2:  Tạo khung 6×6 và chia thành khung 2×2

Vẽ hình vuông kích thước 6×6 chia thành 36 ô vuông. Chia hình thành 9 hình vuông nhỏ 2×2, được đánh số thứ tự theo Hình 1.  Mỗi hình vuông nhỏ chứa 4 số.

image004

Bước 3:  Chia nhóm 4 số

Chia 36 số, từ 1 đến 36, thành 9 nhóm, mỗi nhóm có 4 số liên tiếp:

Nhóm 1:  1, 2, 3, 4  chứa trong hình vuông nhỏ 1
Nhóm 2:  5, 6, 7, 8 chứa trong hình vuông nhỏ 2
Nhóm 3:  9, 10, 11, 12    chứa trong hình vuông nhỏ 3
Nhóm 4:  13, 14, 15, 16  chứa trong hình vuông nhỏ 4
Nhóm 5:  17, 18, 19, 20  chứa trong hình vuông nhỏ 5
Nhóm 6:  21, 22, 23, 24  chứa trong hình vuông nhỏ 6
Nhóm 7:  25, 26, 27, 28  chứa trong hình vuông nhỏ 7
Nhóm 8:  29, 30, 31, 32  chứa trong hình vuông nhỏ 8
Nhóm 9:  33, 34, 35, 36  chứa trong hình vuông nhỏ 9

Vị trí các số trong các hình vuông nhỏ 2×2:

Bốn số trong các hình vuông nhỏ 2×2 được sắp xếp theo hình chữ L như hình bên cạnh

image006

Bước4:  Điền nhóm vào khung Ma phương

Điền các nhóm số vào các hình vuông nhỏ 2×2 có cùng số thứ tự  để có Ma phương tạm bậc 6.

image008

Bước 5:  Điều chỉnh

Có 3 việc phải kiểm soát và điều chỉnh: tổng số các số trên các hàng, các cột và 2 đường chéo phải bằng Hằng số Ma phương bậc 6 là 111.

Nhận xét:

a)    Các hàng đều có tổng số 111             =>  OK
b)    Đường chéo thứ nhất (Tây Bắc / Đông Nam) có tổng số 117  => Dư 6
c)    Đường chéo thứ hai   (Đông Bắc / Tây Nam) có tổng số 105  => Thiếu 6
d)    Cột 1 có tổng số 114    => Dư 3
        Cột 2 có tổng số 108  => Thiếu 3

Tương tự,

Cột 3 có tổng số 114   => Dư 3
Cột 4 có tổng số 108  => Thiếu 3
Cột 5 có tổng số 114   => Dư 3
Cột 6 có tổng số 108  => Thiếu 3

Giữa 2 cột 1 và 2, cột 1 dư 3, cột 2 thiếu 3, để điều chỉnh, ta có thể hoán vị 8 với 5 hoặc 28 với 25  hoặc 24 với 21). Ta chọn hoán vị 8 với 5, như vậy, đường chép thứ nhất giảm được 3, chỉ còn dư 3.

Giữa 2 cột 3 và 4, cột 3 dư 3, cột 4 thiếu 3, để điều chỉnh, ta có thể hoán vị 36 với 33  hoặc 20 với 17 hoặc 4 với 1). Ta chọn hoán vị 20 với 17, như vậy, đường chéo thứ nhất giảm thêm  3, vậy là còn 111. Khi hoán vị 20 với 17, ta đã làm đường chéo thứ hai tăng thêm 3, như vậy, chỉ còn thiếu 3.

Giữa 2 cột 5 và 6, cột 5 dư 3, cột 6 thiếu 3, để điều chỉnh, ta có thể hoán vị 16 với 13  hoặc 12 với 9 hoặc 32 với 29). Ta chọn hoán vị 16 với 13, như vậy, đường chép thứ hai tăng thêm  3, vậy là vừa đủ 111.

Sau khi hoán vị các số như trên, ta có được Ma phương bậc 6 đầy đủ như hình dưới đây:

Bước 6:  Kiểm soát

Tổng số các số ở mỗi hàng, mỗi cột và trên 2 đường chéo bằng hằng số ma phương 111.

image010

Phương pháp tạo Ma phương có bậc n là bội số của 4 cộng 2

Tóm lại, phương pháp tạo Ma phương có bậc n là bội số của 4 cộng 2 hay
n = 4k + 2 = 2(2k + 1),  k là một số nguyên bất kỳ, như sau:

  • Tạo Ma phương bậc lẻ 2k + 1. Xem bài “Cách tạo Ma phương bậc lẻ”.
  • Vẽ hình vuông kích thước n x n với n2 ô vuông nhỏ đều nhau.
  • Chia hình vuông n x n thành (2k + 1)2  hình vuông nhỏ kích thước 2×2. Số thứ tự của các hình vuông nhỏ nầy là các số trên Maphương bậc lẻ (2k + 1) đã tạo lúc đầu.
  • Chia n2 số thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm gồm 4 số liên tiếp, theo thứ tự tăng dần từ 1.
    Thí dụ:   Nhóm 1 = {1,2,3,4),  Nhóm 2 = {5,6,7,8},  Nhóm 3 = {9,10,11,12), ….. ,
    Nhóm  (2k + 1)2 = ( n2-3, n2-2, n2-1, n2}
  • Điền các nhóm 4 số vào các hình vuông nhỏ 2×2 có cùng số thứ tự của nhóm, để có một Ma phương tạm bậc n.
    Các số điền vào hình vuông nhỏ 2×2 theo hình chữ L như hình vẽ:
 image006
Kiểm soát và điều chỉnh số trên các hàng, cột và 2 đường chéo của Ma phương tạm
Tổng số các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo phải bằng Hằng số của Ma phương bậc n, đó lá  ½ n(n2 + 1).


Chú thích:  Phương pháp tạo Ma phương có bậc bằng bội số của 4 cộng 2 do Thuận Hoà nghĩ ra và được tạm gọi là: “Phương Pháp Thuận Hoà tạo Ma phương bậc 4k + 2”.

 Ma phương bậc 10

Áp dụng phương pháp trên để tạo một Ma phương bậc 10 bằng các số từ 1 đến 100.Với Ma phương bậc 10, ta có  n = 2(2k + 1) = 10  =>  k = 2 => 2k + 1 = 5.
Hằng số Ma phương bậc 10 = ½ 14(102 + 1) = 505

a)    Vẽ Ma phương bậc 5  

(Xem bài “Cách tạo Ma phương bậc lẻ”)

 image012

 b)    Chia hình vuông 10×10 thành 25 hình vuông nhỏ 2×2, có số thứ tự như trong Ma phương bậc 5.

image014

c)     Chia 100 số thành 25 nhóm 4 số

image016

d)   Điền các nhóm số vào các hình vuông nhỏ 2×2 có cùng số thứ tự để có Ma phương tạm  bậc 10

image018

  

e)   Kiểm soát và Điều chỉnh

Hằng số của Ma phương bậc 10 là  ½ 10(102 + 1) = 505

Nhận xét:

Các hàng đều có tổng  số   505   => OK
Cột 1   có tổng số  510                   => Dư 5
Cột 2   có tổng số  số  500           => Thiếu 5

Cột 3   có tổng số  510                  => Dư 5
Cột 4   có tổng số  500                 => Thiếu 5

Cột 5   có tổng  số  510                 => Dư 5
Cột 6   có tổng số   500                => Thiếu 5

Cột 7   có tổng số  510                  => Dư 5
Cột 8   có tổng số  500                 => Thiếu 5

Cột 9   có tổng  số  510                => Dư 5
Cột 10 có tổng số  500                => Thiếu 5

Đường chéo thứ nhất (TB/DN) có tổng số 515        => Dư 10
Đường chéo thứ hai (DB/TN) có tổng số   495       => Thiếu 10

Để điều chỉnh số, ta lưu ý các điểm sau đây trong mọi hình vuông nhỏ 2×2:

image002

Giữa 2 cột 1 và 2, cột 1 dư 5, cột 2 thiếu 5, ta phải chọn cách hoán vị thế nào để cột 1 giảm 5 và cột 2 thêm 5. Vì 5 = 3 + 2, để giảm 5 trên cột 1, ta phải có 2 hoán vị: một hoán vị ngọn để giảm 3 (thí dụ: 12 với 9 hay 64 với 61 hay 36 với 33 hay 88 với 85 hay 60 với 57) và một hoán vị cột để giảm 2 (thí dụ: 12, 10 với 9, 11 hay  64, 62 với 61, 63 hay 36, 34 với 33, 35 vv…).  Ta chọn cách hoán vị ngọn  12 với 9  và cách hoán vị  cột 36, 34 với 33, 35. Cách hoán vị ngọn 12 với 9 cũng làm đường chéo thứ nhất giảm 3, chỉ còn dư 7.

Giữa 2 cột 3 và 4, cột 3 dư 5, cột 4 thiếu 5.  Tương tự như trên, trên cột 3, ta chọn hoán vị ngọn 84 với 81 và hoán vị cột 8, 6 với 5, 7. Hai hoán vị nảy không làm thay đổi 2 đường chéo.

Giữa 2 cột 5 và 6, cột 5 dư 5, cột 6 thiếu 5.  Tương tự như trên, trên cột 5, ta chọn hoán vị ngọn 52 với 49 và hoán vị cột 100, 98 với 97, 99. Hoán vị ngọn 52 với 49 làm đường chéo thứ nhất giảm 3, còn dư 4, làm cho đường chéo thứ hai tăng 3, còn thiếu 7.

Giữa 2 cột 7 và 8, cột 7 dư 5, cột 8 thiếu 5.  Tương tự như trên, trên cột 7, ta chọn hoán vị ngọn 48 với 45 và hoán vị cột 72, 70 với 69, 71. Hoán vị ngọn 48 với 45 làm đường chéo thứ hai tăng 3, còn thiếu 4. Hoán vị cột 42, 70 với 69, 71 làm cho đường chéo thứ nhất giảm 4, còn lại đúng 505.

Giữa 2 cột 8 và 9, cột 8 dư 5, cột 9 thiếu 5.  Tương tự như trên, trên cột 8, ta chọn hoán vị ngọn 40 với 37 và hoán vị cột 44, 42  với 41, 43. Hoán vị cột 44, 42 với 41, 43  làm đường chéo thứ hai tăng 4, còn lại đúng 505.

f)     Ma phương bậc 10 sau khi điều chỉnh:     

 image023

                             

Thuận Hoà (Hồ văn Hoà)

 
%d bloggers like this: