ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

KQNC28 – Toán Mẫu tự Bậc thềm


Bài viết nầy giới thiệu một loại Toán Mẫu Tự đặc biệt có dạng bậc thềm với lời giải tổng quát có thể áp dụng vào các trường hợp khác, đơn giản hay phức tạp hơn. Bài toán được diễn tả trong Hình 1:

image002

Mỗi mẫu tự thay thế cho một số duy nhất trong dãy số sau đây:

        1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13   (1)

Dưới dạng phương trình, ta có:

A + B + C  = S       (2)
C + D + E  = S       (3)
E + F + G  = S        (4)
G + H + I  = S        (5)
I + J + K   = S        (6)
K + L + M = S        (7)

 

 

Câu hỏi của bài toán là:

Xác định trị số nhỏ nhất của S và trị số của các mẫu tự sao cho
mọi hàng và mọi cột của Hình 1 đều có tổng số bằng S.

Để ý rằng tất cả các số trong (1) đều phải được sử dụng.

*      *      *

Trước hết, ta có các nhận xét sau đây:

a) Có 13 mẫu tự phải xác định trị số trong dãy số (1) có 13 trị số

b) Tổng các số trong dãy số (1) bằng:

1 + 2 + 3 + ….. + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91      (8)

c) Tổng các số trong Hình 1 bằng:

(A + B + C) + (C + D + E) + ….. + (I + J + K ) + (K + L + M) = 6S
hay (A + B + C + D + ….. + I + J + K + L + M) + (C + E + G + I + K) = 6S
Thay (A + B + C + D + ….. + I + J + K + L + M) bằng 91 theo (8):

Suy ra:     C + E + G + I + K = 6S – 91     (9)

C, E, G, I và K là 5 số bản lề, có tổng số ít nhất bằng 15 vì 1+2+3+4+5 = 15.

Đặt C + E + G + I + K = B => B ≥ 15

(9) => B = 6S – 91 => S = (91 + B) / 6 = 15 + (B + 1) / 6

S là số nguyên khi (B + 1) chia đúng cho 6

=>         B = 5,    B = 11,  B = 17,   B = 23,   B = 29, …
ứng với S = 16,  S = 17,   S = 18,   S = 19,   S = 20, …

Vì B ≥ 15 và S nhỏ nhất nên chỉ có B = 17 => S = 18 là nhận được.

Tóm lại, trị số nhỏ nhất của S là 18 và các trị số của 5 số bản lề C, E, G, I và K có tổng số bằng 17. Năm số bản lề có tổng số 17 là 1, 2, 3, 4 và 7.

S = 18,      C + E + G + I + K = 17

Để tìm tất cả nghiệm số của bài toán, không kể các số hoán vị được như A với B, L với M, ta có thể cho một mẫu tự, thí dụ A, thay đổi trong các số: 13, 12, 11, 10, 9, 8, 6, 5 khác vớ  các số bản lề.

Để ý rằng các mẫu tự A, B, D, F, H, J, L và M không thể bằng các số bản lề.

 

1) A = 13 => Không nhận được vì B không thể bằng các số bản lề

2) A= 12 => B = 5 duy nhất, C = 1

image004

Nghiệm 1:   A = 12, B = 5, C = 1, D = 13, E = 4, F = 11, G = 3,
H = 8, I = 7, J = 9, K = 2, L = 6, M = 10

Nghiệm 2:    A = 12, B = 5, C = 1, D = 10, E = 7, F = 9, G = 2,
H = 13, I = 3, J = 11, K = 4, L = 6, M = 8

 

3) A= 11 => B = 5, C = 2

image006

Nghiệm 3:     A = 11, B = 5, C = 2, D = 12, E = 4, F = 13, G = 1,
H = 10, I = 7, J = 8, K = 3, L = 6, M = 9

 

4) A = 11, B = 6, C = 1

image008

Nghiệm 4:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 13, E = 4, F = 12, G = 2,
H = 9, I = 7, J = 8, K = 3, L = 5, M = 10

Nghiệm 5:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 10, E = 7, F = 8, G = 3,
H = 13, I = 2, J = 12, K = 4, L = 5, M = 9

 

5) A = 10, B = 5, C = 3

image010

Nghiệm 6:    A = 10, B = 5, C = 3, D = 8, E = 7, F = 9, G = 2,
H = 12, I = 4, J = 13, K = 1, L = 6, M = 11

 

6) A = 10, B = 6, C = 2

image012

 

Nghiệm 7:    A = 10, B = 6, C = 2, D = 9, E = 7, F = 8, G = 3,
H = 11, I = 4, J = 13, K = 1, L = 5, M = 12

 

7) A = 9, B = 5, C = 4

image014

 

Nghiệm 8:   A = 9, B = 5, C = 4, D = 12, E = 2, F = 13, G = 3,
H = 8, I = 7, J = 10, K = 1, L = 6, M = 11

 

8) A = 9, B = 6, C = 3

image016

 

Nghiệm 9:    A = 9, B = 6, C = 3, D = 8, E = 7, F = 10, G = 1,
H = 13, I = 4, J = 12, K = 2, L = 5, M = 11

 

9) A = 9, B = 8, C = 1

image018

Không có nghiệm số

 

10) A = 8, B = 6, C = 4

image022

 

Nghiệm 10:   A = 8, B = 6, C = 4, D = 11, E = 3, F = 13, G = 2,
H = 9, I = 7, J = 10, K =1, L = 5, M = 12

 

11) A = 8, B = 9, C = 1

Xem 9) A = 9, B = 8, C = 1 (Hình A9B8C1). Vô nghiệm.

 

12) A = 6, B = 5, C = 7

image020

13) A = 6, B = 8, C = 4

Xem 10) A = 8, B = 6, C = 4. Hình A8B6C4

14) A = 6, B = 9, C = 3

Xem 8) A = 9, B = 6, C = 3. Hình A9B6C3

15) A = 6, B = 10, C = 2

Xem 10) A = 10, B = 6, C = 3. Hình A10B6C2

16) A = 6, B = 11, C = 1

Xem 4) A = 11, B = 6, C = 1 . Hình A11B6C1

17) A = 5, B = 6, C = 7

Xem 12) A = 6, B = 5, C = 7. Hình A6B5C7

18) A = 5, B = 9, C = 4

Xem 7) A = 9, B = 5, C = 4. Hình A9B5C4

19) A = 5, B = 10, C = 3

Xem 5) A = 10, B = 5, C = 3. Hình A10B5C3

20) A = 5, B = 11, C = 2

Xem 3) A = 11, B = 5, C = 2. Hình A11B5C2

21) A = 5, B = 12, C = 1

Xem 2) A = 12, B = 5, C = 1. Hình A12B5C1

 

Tóm lại, các nghiệm số tìm được là:

Nghiệm 1:   A = 12, B = 5, C = 1, D = 13, E = 4, F = 11, G = 3,
H = 8, I = 7, J = 9, K = 2, L = 6, M = 10

Nghiệm 2:   A = 12, B = 5, C = 1, D = 10, E = 7, F = 9, G = 2,
H = 13, I = 3, J = 11, K = 4, L = 6, M = 8

Nghiệm 3:   A = 11, B = 5, C = 2, D = 12, E = 4, F = 13, G = 1,
H = 10, I = 7, J = 8, K = 3, L = 6, M = 9

Nghiệm 4:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 13, E = 4, F = 12, G = 2,
H = 9, I = 7, J = 8, K = 3, L = 5, M = 10

Nghiệm 5:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 10, E = 7, F = 8, G = 3,
H = 13, I = 2, J = 12, K = 4, L = 5, M = 9

Nghiệm 6:   A = 10, B = 5, C = 3, D = 8, E = 7, F = 9, G = 2,
H = 12, I = 4, J = 13, K = 1, L = 6, M = 11

Nghiệm 7:   A = 10, B = 6, C = 2, D = 9, E = 7, F = 8, G = 3,
H = 11, I = 4, J = 13, K = 1, L = 5, M = 12

Nghiệm 8:   A = 9, B = 5, C = 4, D = 12, E = 2, F = 13, G = 3,
H = 8, I = 7, J = 10, K = 1, L = 6, M = 11

Nghiệm 9:   A = 9, B = 6, C = 3, D = 8, E = 7, F = 10, G = 1,
H = 13, I = 4, J = 12, K = 2, L = 5, M = 11

Nghiệm 10:   A = 8, B = 6, C = 4, D = 11, E = 3, F = 13, G = 2,
H = 9, I = 7, J = 10, K =1, L = 5, M = 12

Nhận xét

1) Vì A và B hoán vị được, L và M hoán vị được, nên danh sách trên chỉ gồm các nghiệm số có A > B và M > L

2) Trong danh sách trên, có những cặp nghiệm số chỉ khác nhau ở cách đọc, từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên, như các cặp nghiệm số sau đây:

Nghiệm 1 với Nghiệm 7
Nghiệm 2 với Nghiệm 10
Nghiệm 3 với Nghiệm 9
Nghiệm 4 với Nghiệm 6
Nghiệm 5 với Nghiệm 8

 

Kết luận:

Nếu không kể các trường hợp được xem như giống nhau, ta có thể nói rằng bài toán có 5 nghiệm số là:

Nghiệm 1:   A = 12, B = 5, C = 1, D = 13, E = 4, F = 11, G = 3,
H = 8, I = 7, J = 9, K = 2, L = 6, M = 10

Nghiệm 2:   A = 12, B = 5, C = 1, D = 10, E = 7, F = 9, G = 2,
H = 13, I = 3, J = 11, K = 4, L = 6, M = 8

Nghiệm 3:   A = 11, B = 5, C = 2, D = 12, E = 4, F = 13, G = 1,
H = 10, I = 7, J = 8, K = 3, L = 6, M = 9

Nghiệm 4:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 13, E = 4, F = 12, G = 2,
H = 9, I = 7, J = 8, K = 3, L = 5, M = 10

Nghiệm 5:   A = 11, B = 6, C = 1, D = 10, E = 7, F = 8, G = 3,
H = 13, I = 2, J = 12, K = 4, L = 5, M = 9

image024

image026

image028

Thuận Hoà
Sydney, 2014

 
%d bloggers like this: