Lời nói đầu:    Bắt đầu từ Thứ Ba 02/07/2013,  “Trang Giải Trí” của VL giới thiệu với độc giả  trò chơi luyện trí óc  “SUDOCALC” (hay KENKEN). Bài viết nầy có mục đích giúp độc giả làm quen với trò chơi hữu ích đó.

*    *     *

Ngày 8 tháng Hai 2009, nhật báo The New York Times ở Mỹ đã giới thiệu KENKEN, một trò giải trí mới vừa có tính toán số học vừa có lý luận.Trò chơi KENKEN do giáo sư toán người Nhật bản Tetsuya Miyamoto phát minh năm 2004, còn được gọi là KenDoku, Mathdoku hay Calcudoku ở nhiều nơi khác.

Vì tên KENKEN đã được cầu chứng, nên Thuận Hoà  xin gọi trò giải trí nầy bằng một tên khác là “SUDOCALC”, tức là “SUDOku with CALCulation” hay SUDOKU có Tính Toán.

SUDOCALC  giống như Sudoku nhưng khó hơn. SudoCalc cũng gồm 1 mạng vuông chia thành hàng, cột và các ô vuông bằng những đường thẳng ngang và dọc. Với Sudoku kích thước 9×9, các số từ 1 đến 9 phải điền sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi khối 3×3 phải chứa tất cả các số từ 1 đến 9. Với SudoCalc kích thước 9×9, chỉ có mỗi hàng và mỗi cột phải chứa tất cả các số từ 1 đến 9. Không có khái niệm khối trong SudoCalc. Với tính chất nầy, SudoCalc gần với  “Hình vuông Latinh” (Latin Square) hơn Sudoku (Xem bài “Trò chơi Hình Vuông Latinh” trong Việt Luận, số 2625 ngày Thứ Sáu 17/02/2012). Đó là lý do tại sao SudoCalc còn được gọi là KenDoku!

Thật ra, SudoCalc còn khó hơn Sudoku nhiều! Hình 1 cho thấy một SudoCalc kích thước 4×4 với những số phải điền là 1, 2, 3 và  4.

Mạng SudoCalc được chia ra thành những lồng (như lồng chim) bằng những đoạn ngang, dọc tô đậm. Ở góc trái và phía trên của mỗi lồng có một kết quả của lồng, in nhỏ, gồm có một số chỉ kết quả, theo sau có hay không có một Phép tính  hay  toán tử. Toán tử nầy xác định phép tính phải thực hiện trên các con số trong lồng để có kết quả.

SudoCalc sử dụng 4 phép tính: cộng (+), trừ (– ), nhân (x) và chia ( / hay ÷)  thoả các điều kiện sau đây:

• Mỗi ô trong lồng là vị trí của một con số phải điền
• Lồng mà kết quả không có phép tính theo sau chỉ có 1 ô và số phải điền vào ô đó là kết quả. Lồng mà kết quả có phép tính theo sau có ít nhất 2 ô.
• Với phép cộng và phép nhân, lồng có bao nhiêu ô (hay con số) cũng được.
  
• Với phép trừ và phép chia, lồng chỉ được phép có 2 con số.
• Với phép trừ, kết quả là hiệu số của số lớn trừ số nhỏ.
• Với phép chia, kết quả là phép chia của số lớn với số nhỏ và phép chia nầy phải là phép chia đúng (tức là kết quả phải là một thừa số của số lớn).
• Chỉ có phép cộng và phép nhân là có thể hiện diện trong lồng gãy (như trong Hình 5), các phép trừ và chia chỉ hiện diện trong lồng ngay.
• Các con số trong 1 lồng ngay phải khác nhau và khác cả với các con số ở ngoài lồng nhưng cùng hàng hay cùng cột với lồng. Đó cũng là một tính chất của Sudoku: Các con số cùng hàng hay cùng cột phải khác nhau.
• Lồng gãy có thể có những con số trùng nhau (như trong Hình 5), những con số trùng nhau nầy không thể cùng nằm trên 1 hàng hay cột của mạng SudoCalc.

Trong Hình 1,

Có 2 lồng chỉ có 1 ô, không có toán tử theo sau kết quả 1 và 4. Hai ô nầy có trị số lần lượt là 1 và 4.

Lồng ngay có kết quả 1- và có 2 ô nằm trên cột thứ nhất được ký hiệu là [1-](2). Các lồng ngay khác là: [3x](2), [8x](2)

Lồng gãy 12x có 2 ô nằm trên cùng cột 1và 1 ô nằm trên cột 2 được ký hiệu là [12x](2,1). Một lồng gãy khác là [6+](2,1).

Trong SudoCalc kích thước 4×4 các số trong lồng phải ở trong khoảng từ 1 đến 4. Tuỳ theo nhu cầu, vị trí của các số trong lòng không bắt buộc phải theo một chiều nào nhất định. Thí dụ, trong Hình 2, trong 4 số 1, 2, 3, 4, hiệu số của 2 con số bằng 3 khi 1 số bằng 1 và 1 số bằng 4. Tuỳ theo những điều kiện nào đó, 4 có thể đứng trrước hay đứng sau 1. Nếu không xác định được vị trí của 1 và 4, thì 1 và 4 được coi là các số khả dụng của lồng và viết bằng số nhỏ 14 như trong Hình 3.

Trong một hàng hay cột của một SudoCalc 6×6 (Hình 4), 1 và 6 là các số khả dụng của lồng

[5-](2). Lồng nầy hợp thành một cặp đôi (Twin) gồm 2 ô có trị số 1 và 6. Do đó, 1 và 6 không thể hiện diện trong các ô khác của hàng hay cột chứa lồng. Suy ra, 2, 3 và 5 là 3 số khả dụng của lồng [30x](3). Lồng nầy hợp thành một cặp ba (Triplet) gồm 3 ô thẳng hàng.

Tóm lại, SudoCalc kích thước NxN với N con số 1, 2, 3, ……., N  gồm có N hàng, N cột và N² ô vuông.

Giải 1 SudoCalc kích thước NxN với N con số là điền các số từ 1 đến N vào các ô sao cho:

a) Mỗi hàng và mỗi cột đều có chứa tất cả các con số từ 1 đến N
b)  Các số trong các lồng phải có kết quả khi được tính với các phép tính trong lồng.

Phương pháp giải SudoCalc

Để tránh phức tạp, trong phần nầy chúng ta xét một SudoCalc kích thước 6×6 với 6 số phải điền từ 1 đến 6, thí dụ như trong Hình 6.

Chủ yếu của phương pháp giải SudoCalc là phân tích kết quả của lồng thành nhiều số tuỳ theo số ô và toán tử của lồng.

Thí dụ, với lồng 6+ có 3 ô, ký hiệu [6+](3), kết quả 6 có thể phân tích thành :

6 = 1 + 2 + 3

=> 1, 2, 3 là 3 số khả dụng của lồng [6+](3)

Với lồng [4÷](2), kết quả 4 có thể phân tích thành
4 =  4 ÷ 1

=> 1 và 4 là 2 số khả dụng của lồng [4÷](2)

Trong 2 thí dụ trên, sự phân tích là duy nhất, giúp suy ra được những cặp đôi và cặp ba của mạng. Vị trí của các số trong lồng có thể xác định được bằng cách xét các số đã biết ở ngoài lồng (áp dụng tính chất: 2 số trên cùng 1 hàng hay 1 cột không thể trùng nhau).

Sự khám phá các lồng mà kết quả có thể phân tích một cách duy nhất giúp ích rất nhiều cho người giải. Sau đây, là một số trường hợp trong SudoCalc kích thước 6×6:

[3+](2)     =>    3 = 1 + 2         [6+](3)      =>   6 = 1 + 2 + 3

[5-](2)     =>    5 = 6 – 1         [2x](2,1)   =>   2 = 2 x 1 x 1    (lồng gãy)

[10x](2)   =>  10 = 2 x 5          [50x](2,1) => 50 = 2 x 5 x 5    (lồng gãy)

[30x](2)  =>  30 = 5 x 6          [18x](3)    => 18 = 1 x 3 x 6

[5÷](2)    =>    5 = 5 ÷ 1         [6÷](2)      =>   6 = 6 ÷ 1

Rất nhiều trường hợp, có hơn 1 cách phân tích kết quả, thí dụ như

Lồng [10+](2)  =>    10 = 1 + 4 + 5,  10 = 1 + 3 + 6,  10 = 2 + 3 + 5

Lồng [2-](2)     =>     2 = 6 – 4,           2 = 5 – 3,           2 = 4 – 2,          2 = 3 – 1

Trong những trrường hợp nầy, người giải phải xét đến những số đã điền ở ngoài lồng, kể cả các số sẽ khả dụng trong các cặp đôi hay cặp ba đã biết.

Tóm lại, phương pháp giải SudoCalc gồm những bước sau đây:

• Điền các lồng chỉ có 1 ô.
• Tìm các lồng mà sự phân tích các kết quả là duy nhứt. Suy ra các số phải điền, hay các số khả dụng của các lồng đó. Áp dụng tính chất: không thể có 2 con số trùng nhau trên cùng 1 hàng hay cột.
• Xét các lồng mà sự phân tích các kết quả không duy nhất. Tìm cách loại các phân tích không nhận được bằng cách xét các số đã điền ngoài lồng, kể cả các số khả dụng trong các cặp đôi hay cặp ba đã biết, và áp dụng tính chất: không thể có 2 con số trùng nhau trên cùng 1 hàng hay cột
• Điền các ô trống bằng cách áp dụng tính chất: mỗi hàng hay cột phải chứa tất cả các số  từ 1 đến 6
  

Giải SudoCalc trong Hình 6

Bây giò, xin độc giả sẵn sàng viết mực và viết chì để cùng tác giả giải mạng SudoCalc trong Hình 6. Các hàng được xác định bằng các chữ A, B, C, D, E và F. Các cột bằng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Một ô vuông được xác định bằng thứ tự của hàng và cột của nó, thí dụ, ô vuông B5 chỉ ô ở hàng thứ B (thứ hai) và cột thứ 5.

Thử giải bài toán theo các bước sau đây (để ý rằng độc giả phải ghi số vào hình theo lời chỉ dẩn):

Điền các số  3,4, 5, 5, 5  lần lượt vào các lồng chỉ có 1 ô.

Điền 2, 5, 5 vào lồng [50x](2,1)  (xem trên) => A2 = 5, A3 = 2, B3 = 5

Điền 1, 1, 2 vào lồng [2x](2,1)    (xem trên) => B6 = 1, C5 = 1, C6 = 2

Lồng [6+](3) có số khả dụng là 1, 2, 3 (xem trên). Xét các số đã điền bên ngoài lồng
=> B1 = 2 vì B5 = 3, B6 = 1; C1 = 3 vì C5 = 1, C6 = 2  => A1 = 1

Lồng [4÷](2) có 1, 4 là số khả dụng. Xét các số đã điền bên ngoài lồng
=> E5 = 4 vì C5 = 1 => E4 = 1

Lồng [10x](2) có 2, 5 là số khả dụng. Xét các số đã điền bên ngoài lồng
=> D4 = 2 vì D5 = 5 => C4 = 5

Hàng C thiếu số 6 => C2 = 6

Lồng [2-](2) có 1 số bằng 6 => Số kia phải bằng 4 => B2 = 4

Lồng [5+](2) có 3 phân tích 1 + 4 và 2 + 3, 1 + 4 không nhận được vì đã có trên cùng hàng => chỉ phân tíck 2 + 3 nhận được.

Vì A3 = 2 => E3 = 3, E2 = 2

Hàng E thiếu số 6 => E6 = 6

Lồng [2-](2) có 1 số bằng 6 => D6 = 4

Cột 6 thiếu số 3 => A6 = 3

Lồng [5+](2) có 2 phân tích 1 + 4 và 2 + 3, 1 + 4 không nhận được vì  C5 = 1, E5 = 4
=> chỉ phân tíck 2 + 3 nhận được.

Vì D4 = 2 => F4 = 3, F5 = 2

Cột 5 thiếu số 6 => A5 = 6

Lồng [10+](3) có 3 phân tích 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 5 và 2 + 3 + 5
Hai phân tích sau không nhận được vì 2, 4 và 5 đã có trên hàng
=>  Phân tích 1 + 3 + 6 nhận được
Xét các số đã điền ngoài lồng => D1 = 6, D3 = 1 => D2 = 3

Điền các số thiếu vào các hàng A, B và các cột 1, 2, 3 và nghiệm lại các
kết quả trong lồng [19+](3,1)  và  [24x](3)
=> A4 = 4, B4 = 6, F1 = 4, F2 = 1, F3 = 6

Như vậy là mạng SudoCalc 6×6 trong Hình 6 đã được giải xong! Xin mời độc giả tự gỉải mạng SudoCalc 4×4 trong Hình 1.

BÀI TẬP:

Giải 2 mạng SudoCalc kích thước 4×4  (với 4 số 1, 2, 3 và 4) và  5×5  (với 5 số 1, 2, 3, 4 và 5)

Chúc thành công! Rất mong có dịp được hầu chuyện thêm cùng độc giả về SudoCalc, một trò chơi vừa để giải trí vừa có tính cách giáo dục rất được ưa thích hiện nay.

Thuận Hoà
Sydney July 2013