Trong toán học, nếu chỉ cần chứng minh sự hiện hữu của một đối tượng nào đó mà không cần, hay không thể, hay không chỉ cách xác định rõ vị trí của đối tượng đó, thì đó là cách chứng minh hiện hữu. Sau đây, tác giả xin trình bày một thí dụ vui vui về cách chứng minh hiện hữu qua bài toán “Chứng minh rằng có 2 người có cùng một số tóc trên đầu!”.
Trước hết, ta phải công nhận rằng:

(i) Không ai có hơn một tỉ cọng tóc trên đầu
(ii) Có vài tỉ người trên địa cầu nầy.

Bắt đầu với 1 người có ít tóc trên đầu và kiểm soát xem có ai có cùng số tóc với người đó hay không? Nếu có, thì bài toán đã được giải và 2 người có cùng số tóc đã tìm được.
Nếu không, thì tiếp tục kiểm soát tóc của người ít tóc kế tiếp! Cứ thế tiếp tục, thế nào cũng tìm được một người có cùng số tóc với người đó. Vì sao? Vì không ai có hơn một tỉ cọng tóc trên đầu mà số người trên địa cầu nầy có đến vài tỉ! Vậy, lý luận đó đã chứng minh được sự hiện hữu của 2 người có cùng số tóc trên đầu! Nhưng, nếu phải chỉ 2 người đó là 2 người nào, thì chứng minh đó chịu thua!

*    *    *

Ngược lại với chứng minh hiện hữu là chứng minh không hiện hữu. Đó là chứng minh một đối tượng nào đó không thể hiện hữu được. Thí dụ: mọi số chẵn lớn hơn 2 không phải là số nguyên tố, vì mọi số chẵn chia đúng cho 2 nên không phải là số nguyên tố, trừ số 2!

Cách chứng minh không hiện hữu nầy nhắc ta nhớ đến một chuyện xảy ra từ thời Pythagore, năm 500 trước Công nguyên.

 Thuở ấy, trường phái Pythagore cho rằng mọi vật đều đặt nền tảng trên số nguyên và mọi đo đạc không phải là số nguyên đều có thể được viết dưới dạng tỉ số của 2 số nguyên (ngày nay học sinh gọi là phân số và các nhà toán học gọi là số hữu tỉ – rational number). Thí dụ: số đo 1.25 có thể viết dưới dạng 5/4. Những độ dài không thể viết được dưới dạng phân số, thì được viết dưới dạng phân số gần đúng, thí dụ: chu vi vòng tròn chia cho đường kính của vòng tròn bằng 22/7 (đó là một trị số gần đúng của số π ).
Mọi việc êm xuôi như vậy cho đến khi người ta áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông cân có mỗi cạnh góc vuông bằng 1 đơn vị độ dài và cạnh huyền x.