Lorenzo Mascheroni được bổ làm giáo sư môn Đại số và Hình học tại đại học Pavia ở Ý đại lợi năm 1786. Ba năm sau, ông trở thành hiệu trưởng của trường và giữ chức vụ đó trong 4 năm.

Mascheroni thường được biết đến nhiều qua sách “Geometria del compasso” (Hình học bằng  compa) xuất bản tại Bavia năm 1797, trong đó ông đã chứng nghiệm rằng các phép vẽ hình học Euclide có thể thực hiện được chỉ toàn bằng compa mà thôi và thước kẻ không cần dùng đến. Công trình của Mascheroni có hai mục đích:

        (i)   để thiết lập một nền tảng lý thuyết cho cách vẽ chỉ bằng compa và
        (ii)  để cung cấp những cách vẽ thực tiểp có thể có ích cho ai làm những
              dụng cụ đo đạc chính xác.

Trong quyển sách, ông đã chứng tỏ là, chỉ với compa, có thể vẽ được trung điểm của một đoạn thẳng, trung điểm của một cung tròn, giao điểm của 2 đường thẳng, giao điểm của một đường thẳng với một vòng tròn, có thể  cộng hay trừ hai đoạn thẳng, …. Từ lời giải của những bài toán vẽ đó, ông có thể chứng minh được là bất cứ cái gì có thể vẽ được bằng thước và compa đều có thể vẽ đưọc chỉ bằng chỉ compa mà thôi. Đó là định lý Mohr-Mascheroni.

Để hiểu rõ hơn về phương pháp vẽ chỉ bằng compa, chnúg ta xét 2 bài toán nêu ra trong sách của Mascheroni.

Bài toán 1:    Vẽ trung điểm cuả đoạn AB

Mascheroni đã trình bày nhiều cách, sau đây là một cách:

Lời giải:   

       a)  Vẽ nửa vòng tròn (V),  tâm B, bán kính BA

       b)  Vẽ cung tròn tâm A, bán kính AB, cắt nửa vòng  tròn (V) tại C.
            Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CB, cắt nửa vòng tròn (V) tại D
            Vẽ cung tròn tâm D, bán kính DB cắt nửa vòng tròn (V) tại E. 
   
            E chính là điểm đối xứng của A qua B.
        
      c)  Vẽ vòng tròn tâm A, bán kính AE và vòng tròn tâm E, bán kính EC. 
            Hai vòng tròn nầy cắt nhau tại F và F’.

      d)  Vẽ vòng tròn tâm F, bán kính FE và vòng tròn tâm F’, bán kính F’E.
            Hai vòng tròn nầy cắt nhau tại E và M.  
           
                               M chính là trung điểm của đoạn AB.

Chứng minh:     Trước hết, nhận xét rằng M nằm trên AB vì đối xứng.

Tam giác ACB vuông tại C, có cạnh AC = AB, cạnh huyền AE = 2AB
=>  EC² = AE² – AC² =  3AB²
=>  EF² = EC² = 3AB²  

FH² = FE² – HE² =  FA² – AH²
=>  AH² – HE² = FA² – FE²
=>  (AH + HE)(AH – HE) = FA² – FE² = 4AB² – 3AB² = AB²

Vì   AH + HE = AE = 2AB                                  (1)
=>  AH – HE = AB² / (2AB)  =  ½ AB          (2)

Trừ vế (1) và (2)  =>  HE =  ¾  AB
=>  AM = AE – 2HM = 2AB – 3/2 AB  =  ½ AB

= >  M là trung điểm của đoạn AB.

Bài toán 2:       Từ một điểm A ở ngoài vòng tròn tâm O.  Vẽ 
                          (chỉ bằng compa) giao điểm của vòng tròn với
                          đường thẳng xác định bời 2 điểm O và A.

                                                                                    
 Lời giải:   

a)  Vẽ vòng tròn tâm A, bán kính bất kỳ, cắt vòng O tại   2 điểm B và C đối xứng 
     qua đường thẳng OA

b)  Vẽ vòng tròn (O,BC). Vòng tròn nầy cắt vòng tròn (B,BO) tại D và cắt vòng
      tròn (C,CO) tại E.

Hai tứ giác BCOD và BCOE là hình bình hành
         OD // BC,  OD // OE  
=>    D, O, E thẳng hàng và  DC = EB

c)     Vẽ vòng tròn (D,DC) và vòng tròn (E,EB). Hai vòng tròn nầy cắt  nhau tại 2 điểm mà 1 điểm là F. Vì đối xứng, F nằm trên đường FA. 
Vẽ vòng tròn (D,OF) và vòng tròn (E,OF). Hai vòng tròn nầy cắt nhau tại 2 điểm M và M’.

                  M và M’ là giao điểm của vòng tròn tâm O
                  với đường thẳng  xác định bởi 2 điểm O và A.                              
                                    
 Thuận Hoà xin nhường phần chứng của bài toán nầy cho độc giả.              

Độc giả có thể có nhận xét là cách vẽ bằng compa chỉ làm cho bài toán thêm phức tạp và mất thì giờ! Nhận xét đó không sai, nhưng theo Mascheroni, cách vẽ đó có thể có ích cho ai làm những dụng cụ đo đạc chính xác.

Độc giả có thể đặt câu hỏi là “Có cách nào chỉ bằng thước kẻ mà vẽ được những hình trong hình học Euclide không?”.

Gợi hứng bởi công trình của Mascheroni, Jacob Steiner (1796-1863) đã thử chứng nghiệm một kết quả tương tự nhưng chỉ bằng thước kẻ thay vì chỉ bằng compa. Nhưng, nếu chỉ bằng  thước kẻ thì  làm sao vẽ được vòng tròn? Trong sách “Geometrical Constructions Using a Staright Line and a Fixed Circle” (Cách vẽ hình học bằng một đường thẳng và một vòng tròn cố định) xuất bản năm 1833, Steiner đã chứng minh được rằng: cho một vòng tròn cố định với tâm cúa nó, mọi hình  trong mặt phẳng đều có thể vẽ được chỉ bằng thước kẻ.

Thuận Hoà