Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau bằng thước thẳng và compa

Kết quả nghiên cứu nầy gồm 3 phần:

Phần 1 – Chia ba một góc cho sẵn bằng thước thẳng và compa
Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa
Phần 3 – Chia một góc thành nhiều phần bằng nhau.
Hệ luận Thuận Hoà (hay Thuanhoa’s corollary)

____________________

Phần 2 – Vẽ một đa giác đều có n cạnh bằng thước thẳng và compa

(Cũng như Phần 1, Phần 2 là tiền đề cho Phần 3.  Thuận Hoà chỉ trình bày lại những kết quả đã biết và phổ biến trong nhiều sách và Internet.)

Bạn có thể chỉ dùng thước thẳng và compa để vẽ được một cách dễ dàng một tam giác đều, một tứ giác đều (hình vuông), một lục giác đều, một bát giác đều.  Bạn cũng có thể (chỉ dùng thước thẳng và compa) để vẽ được một ngũ giác đều, mặc dầu hơi khó khăn một chút. Nhưng, bạn không thể vẽ được một đa giác đều có 7 cạnh hay 9 cạnh!

Cách vẽ một ngũ giác đều (5 cạnh) nội tiếp trong vòng tròn có thể thực hiện bằng phương pháp Richmond như sau:

P₁P₂ là cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn có bán kính bằng 1.

Tóm lại, P₁P₂ = s là cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn có bán kính bằng 1.

Một cách vẽ khác mà không chứng minh, như sau:

E, P’, P”, Q’ và Q” là đỉnh của một ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn (C).

Điều kiện để vẽ được một đa giác đều chỉ bằng thước thẳng và compa

Không phải chỉ dùng thước thẳng và compa mà vẽ được mọi đa giác đều. Hỏi vậy, khi nào thì một đa giác đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa?

Năm 1796, nhà toán học Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17 cạnh bằng thước thẳng  và compa, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên vòng tròn như là nghiệm của phương trình số phức zⁿ – 1 = 0.

Năm năm sau, ông đã khai triển được lý thuyết gọi là “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học). Lý thuyết nầy giúp ông tìm được điều kiện đủ  để một đa giác đều có thể vẽ được bằng thước thẳng và compa. Điều kiện đó như sau:

“Một đa giá đều có n cạnh có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa
khi n bằng tích số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat
nguyên tố khác nhau.”

Nếu gọi F₁, F₂, … là các số Fermat nguyên tố khác nhau, thì điều kiện trên có thể viết như sau:

Đa giác đều n cạnh vẽ được khi  n = 2^m F₁F₂F₃ …

Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng không chứng minh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng mính được điều kiện của Gauss cũng là điều kiện đủ. Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss và chứng minh đầy đủ bởi Wantzel được gọi là

Định lý Gauss-Wantzel:

“Điều kiện ắt có và đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được
bằng thước  thẳng và compa là n bằng tích số của một luỹ thừa của 2
với một số bất kỳ các  số Fermat nguyên tố khác nhau.”

Số Fermat là số có dạng  F = 2^k + 1 với k là một số nguyên.

Cho đến hiện nay, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là:

F₁ = 2¹ + 1 = 3,           F₂ = 2² + 1  = 5,                F₃ = 2⁴ + 1 = 17
F₄ = 2⁸ + 1 = 257,    F₅ = 2¹⁶ + 1 = 65,537

Theo điều kiện Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây có thể vẽ được chỉ bắng thước thẳng và compas:

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, …

Thật vậy,

Với  n = 3   =>  m = 0, F₁ = 3;                         Với  n = 5   => m = 0, F₂ = 5
Với  n = 15 =>  m = 0, F₁ = 3, F₂ = 5;              Với  n = 17 => m = 0, F₃ = 17
Với  n = 6   =>  m = 1, F₁ = 3;                         Với  n = 20 => m = 2, F₂ = 5

Để ý là mọi đa giác đều có số cạnh là luỹ thừa của 2 như n = 4 = 2², n = 8 = 2³, n = 16 = 2⁴, … đều có thể vẽ được chỉ bằng thước thẳng và compa.

Các đa giác đều có n cạnh sau đây không thể vẽ được bằng thước thẳng và compa:

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, …

Thật vậy, không thể có số m nào và số Fermat nguyên tố nào mà có tích số
2^mF₁F₂F₃… bằng 7, 9, 11, ….

Tài liệ tham khảo

1. http://www.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon
3. http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html
4. Dorrie, H. “The Regular Heptadecagon” in “100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution”, New York Dover, pp 177-184, 1965

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)