CP027 – Bài toán tù nhân (1)
Đây là một bài toán liên quan đến tù nhân được lồng vào một câu chuyện giả tưởng xưa.
Cử nhân Hồ Hải Bằng mới vừa được bổ về làm quan ở Huyện Đông Sơn. Quan Huyện là một người nhân từ và rất thông đạt về toán pháp. Huyện có một nhà tù đầy ứ tù nhân không được xét xử phân minh. Công việc quan trọng đầu tiên của Quan Huyện Hồ Hải Bằng là xét lại hồ sơ của các tù nhân để xem có thể tha hay giảm án cho họ hay không?
Hôm ấy, Quan Huyện xét đến hồ sơ của 4 tù nhân sau đây:
Tù nhân A: Tội sang đoạt tài sản của một phú ông trong huyện
Tù nhân B: Tội đầu cơ tích trử lương thực để mưu lợi
Tù nhân C: Tội khai gian để trốn tránh luật pháp
Tù nhân D: Tội xúc phạm đến quan trên.
Điều đặc biệt là tù nhân D nầy bị mù cả 2 mắt và đã vào tù ra khám nhiều lần.
Đang trầm ngâm suy nghĩ, cân nhắc, để xem có thể tha hay không tha các tù nhân trên thì Quan Huyện chợt nghĩ ra một giải pháp mà Quan cho là tuyệt vời! Giải pháp đó như sau:
Để cho 4 tù nhân ngồi thành hàng ngang cách xa nhau, mặt hướng lên chỗ ngồi của Quan. Trước mặt mỗi tù nhân là một hủ bằng đất nung có 3 quả cầu nhỏ, 1 tờ giấy trắng và 1 cây viết. Quan cho các tù nhân biết rằng trong 4 hủ, có:
1 hủ chứa 3 quả cầu đen – Hủ 3Đ
1 hủ chứa 2 quả cầu đen và 1 quả cầu trắng – Hủ 2Đ1T
1 hủ chứa 1 quả cầu đen và 2 quả cầu trắng – Hủ 1Đ2T
1 hủ chứa 3 quả cầu trắng – Hủ 3T
Quan Huyện ra điều kiện như thế nầy:
Các tù nhân, bắt đầu từ bên trái, sẽ lần lượt thò tay vào hủ trước mặt, lấy ra 2 quả cầu, hô lớn màu của 2 quả cầu nầy, rồi dùng giấy viết có sẵn cho biết màu của quả cầu còn lại trong hủ và trình lên Quan. Trừ Quan ra, không ai biết được màu của quả cầu còn lại trong hủ. Nếu tù nhân trả lời đúng màu của quả cầu còn lại trong hủ, thì Quan sẽ tuyên bố lớn “Tha”, còn sai thì “Không Tha”.
Đến ngày thi hành quyết định của Quan Huyện, kết quả sơ khởi được biết như sau:
Tù nhân A: Lấy ra 2 quả cầu đen và đoán đúng được màu của quả cầu còn lại
trong hủ nên được tha.
Tù nhân B: Lấy ra 1 quả cầu đen, 1 quả cầu trắng và đoán đúng được màu
của quả cầu còn lại trong hủ nên được tha.
Tù nhân C: Lấy ra 2 quả cầu trắng nhưng đoán sai màu của quả cầu còn lại
trong hủ nên không được tha.
Đến phiên tù nhân D, đã bị khiếm thị còn bị Quan Huyện quở mắng “Thấy ngươi bị mù, ta cũng muốn giúp, nhưng ngươi như cóc bỏ dĩa, tha ngươi lần nầy thì vài tháng sau, lại thấy mặt ngươi ở đây. Ta chỉ có thể cho ngươi một đặc ân là không cần phải viết giấy, chỉ cần hô lớn cho ta biết màu của 2 quả cầu lấy ra và quả cầu còn lại trong hủ trước mặt ngươi là được”.
Tới đây, xin độc giả bỏ chút thì giờ suy nghĩ để xem có cách gì giúp tù nhân D được tha hay không? (tức là trả lời đúng màu của quả cầu còn lại trong hủ). Cũng cần biết thêm rằng tù nhân D là người có học, cũng giỏi toán pháp như Quan Huyện, chỉ hiềm hơi ngông!
* * *
Lời giải:
Trước hết ta xét trường hợp tổng quát, tức là mọi trường hợp có thể xảy ra.
Tù nhân A lấy ra 2 quả cầu đen => Hủ trước mặt A là 3Đ hay 2Đ1T
a) Trường hợp hủ trước mặt A là 2Đ1T => 3 hủ còn lại: 3Đ, 1Đ2T, 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 2Đ1T có màu trắng)
Tù nhân B lấy ra 1 quả cầu đen, 1 quả cầu trắng => Hủ trước mặt B phải là 1Đ2T
(Quả cầu còn lại trong hủ 1Đ2T có màu trắng)
=> 2 hủ còn lại: 3Đ, 3T
Tù nhân C lấy ra 2 quả cầu trắng => Hủ trước mặt C phải là 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 3T có màu trắng) (1)
=> 1 hủ còn lại: 3Đ
Hủ trước mặt tù nhân D là 3Đ, tức là nếu tù nhân D lấy ra 2 quả cầu đen thì quả cầu
còn lại trong hủ cũng có màu đen.
b) Trường hợp hủ trước mặt A là 3Đ => 3 hủ còn lại: 2Đ1T, 1Đ2T, 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 3Đ có màu đen)
Tù nhân B lấy ra 1 quả cầu đen, 1 quả cầu trắng
=> Hủ trước mặt B là 2Đ1T hay 1Đ2T
b1) Trường hợp hủ trước mặt B là 1Đ2T => 2 hủ còn lại: 2Đ1T, 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 1Đ2T có màu trắng)
Tù nhân C lấy ra 2 quả cầu trắng => Hủ trước mặt C phải là 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 3T có màu trắng) (2)
=> 1 hủ còn lại: 2Đ1T
Hủ trước mặt tù nhân D là 2Đ1T, tức là nếu tù nhân D lấy ra 2 quả cầu đen thì
quả cầu còn lại trong hủ có màu trắng, còn nếu tù nhân D lấy ra 1 quả cầu đen,
1 quả cầu trắng thì quả cầu còn lại trong hủ có màu đen.
b2) Trường hợp hủ trước mặt B là 2Đ1T => 2 hủ còn lại: 1Đ2T, 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 2Đ1T có màu
Tù nhân C lấy ra 2 quả cầu trắng => Hủ trước mặt C là 1Đ2T hay 3T
b21) Trường hợp hủ trước mặt C là 3T => 1 hủ còn lại: 1Đ2T
(Quả cầu còn lại trong hủ 3T có màu trắng) (3)
Hủ trước mặt tù nhân D là 1Đ2T, tức là nếu tù nhân D lấy ra 1 quả cầu đen,
1 quả cầu trắng thì quả cầu còn lại trong hủ có màu trắng, còn nếu tù nhân
D lấy ra 2 quả cầu trắng thì quả cầu còn lại trong hủ có màu đen.
b22) Trường hợp hủ trước mặt C là 1Đ2T => 1 hủ còn lại: 3T
(Quả cầu còn lại trong hủ 1Đ2T có màu trắng) (4)
Hủ trước mặt tù nhân D là 3T, tức là nếu tù nhân D lấy ra 2
quả cầu trắng thì quả cầu còn lại trong hủ cũng có màu trắng.
Bây giờ, ta xét kỹ lại trường hợp của tù nhân C, vì đoán sai màu của quả cầu còn lại trong hủ mà không được tha.
Trong cả 3 trường hợp (1), (2) và (3): Hủ trước mặt tù nhân C đều là 3T.
Tù nhân C lấy ra 2 quả cầu trắng và quả cầu còn lại phải là màu trắng, không thể sai được. Nhưng tù nhân C đã đoán sai! tức là hủ trước mặt của tù nhân C không thể là 3T. Nói cách khác, các trường hợp (1), (2) và (3) đã không xảy ra, hay là, các trường hợp a), b1) và b21) lần lượt dẩn đến các trường hợp (1), (2) và (3), cũng đã không thể xảy ra.
Chỉ còn trường hợp (4): Hủ trước mặt tù nhân C là 1Đ2T, thì tù nhân C có thể đoán sai.
Tù nhân C lấy ra 2 quả cầu trắng, quả cầu còn lại trong hủ có màu đen mà tù nhân C đã đoán sai là màu trắng!
Trường hợp (4) nầy cũng dẩn đến trường hợp: Hủ trước mặt của tù nhân D là 3T.
Tù nhân D, nhờ khả năng lý luận toán học nhạy bén của mình, hiểu được điều nầy, và mặc dầu khiếm thị, cũng biết được rằng 2 quả cầu lấy ra và quả cầu còn lại trong hủ đều có màu trắng!
Vậy là tù nhân D cũng được tha. Hú hồn!
Tóm lại: Các hủ trước mặt các tù nhân A, B, C và D lần lượt là 3Đ, 2Đ1T, 1Đ2T và 3T.
Thuận Hoà
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 
Leave a comment