Trong bài viết nầy, tác giả sẽ trình bày cùng độc giả một bài toán gọi là “Bài toán sinh tử” vì sự sống hay chết của người trả lời cho bài toán nầy tuỳ thuộc nơi sự đúng hay sai của câu trả lời. Bài toán được lồng vào một câu chuyện cổ như dưới đây.

Ở một vương quốc nọ, một nhóm gồm 20 người lính trẻ định làm một cuộc nổi dậy để truất phế nhà vua. Âm mưu mới bắt đầu thì bị lộ, cả nhóm bị tóm và bị nhốt chung vào một ngục thất. Nhờ sự dễ dãi của cai ngục, các tù nhân có thể nói chuyện thoải mái với nhau. Hội đồng bô lão họp xử và quyết định xử tử hình tất cả các tội nhân. Mọi người đều đệ đơn lên nhà vua để xin ân xá. Nhà vua vì lòng nhân từ cũng muốn tha chết cho một số người, nhưng không biết phải tha ai bỏ ai vì các người lính đều rất trẻ, đều cùng cấp bực và cùng nhận trách nhiệm như nhau. Sau một đêm suy nghĩ, nhà vua đi đến một quyết định và ra lịnh cho vị quan giữ ngục thi hành.

Trước ngày thi hành án, vị quan bí mật viết 20 số từ 1 đến 20 và cho tù nhân rút mỗi người một số, rồi trao lại cho vị quan cất giữ. Tù nhân không biết số của mình đã rút được. Sau đó, vị quan công bố cho tù nhân biết về ý định của nhà vua là: nhà vua sẽ tha cho một số người nhưng không biết phải tha cho ai nên nhà vua quyết định sẽ ban cho mỗi tù nhân một ân huệ cuối cùng để được ân xá và ân huệ đó như sau.

Ngày thọ án, các tù nhân, đều bị bịt mắt, sẽ được cai ngục dẩn ra pháp trường và sắp thành một hàng dài và cùng hướng về một phía (theo thứ tự bí mật mà cai ngục đã được cho biết trước). Sau đó, cai ngục sẽ đội lên đầu mỗt tù nhân một cái nón xanh hay đỏ và chỉ có hai màu đó mà thôi. Khi tất cả tù nhân đều đã được đội nón, cai ngục sẽ mở băng mắt cho tất cả. Một tù nhân trong hàng sẽ thấy rõ nón của tất cả những tù nhân đứng trước mình nhưng không thấy được nón của chính mình và của những tù nhân đứng sau lưng. Bắt đầu từ người tù nhân đúng cuối cùng, tức là người thấy tất cả 19 nón của bạn tù, cai ngục sẽ tuần tự hỏi lớn ‘Nón trên đầu anh có màu gì?’ và tù nhân phải trả lời thật lớn và vắn tắt chỉ một chữ ‘XANH’ hay ‘ĐỎ’ mà thôi. Sau câu trả lời của tù nhân, vị quan ngồi trên cao sẽ phán thật to hai tiếng khô khan ‘THA BỔNG’ hay ‘TỬ HÌNH’. Tù nhân trả lời đúng màu nón đang đội của mình thì được tha tội, còn nói sai hay nói khác đi thì bị y án tử hình.

Trong đêm trước ngày thi hành án, thay vì buồn rầu lo âu, các tù nhân, kẻ nằm người ngồi, lại xôn xao bàn cải, cố tìm giải pháp để trả lời thế nào cho đúng và để cho số người được tha tội nhiều nhứt. Sau vài giờ suy nghĩ, một người lính thông minh và trẻ tuổi nhất trong nhóm tìm thấy một giải pháp, giải thích và căn dặn các bạn tù phải cố gắng nhớ kỹ và thi hành thật đúng vì đó là một bài toán sinh tử.

Trước khi đọc tiếp, xin độc giả hãy dừng lại giây phút và suy nghĩ xem có tìm được một giải pháp tốt đẹp nào giúp cho các tù nhân hay không? Và nếu có, thì giải pháp đó cứu được bao nhiêu tù nhân thoát khỏi án tử hình.

* * *

Độc giả có thể nghỉ rằng câu trả lời đúng hay sai của tù nhân là do may mắn mà thôi, không thể có cách nào khác. Độc giả cũng có thể nghỉ rằng mỗi tù nhân có 50% nói đúng màu nón của mình, nên số tù nhân đươc tha là 50% tức là 10 người. Độc giả cũng có thể nghĩ rằng giả thiết của bài toán còn thiếu sót vì bài toán không cho biết có bao nhiêu nón xanh bao nhiêu nón đỏ đã sử dụng. Nếu có 10 nón xanh và 10 nón đỏ, thì số tù nhân được tha là 50% tức là 10 người theo qui luật của xác suất. Thật ra, số nón xanh hay đỏ không phải là yếu tố quan trọng của bài toán. Yếu tố quan trọng là tù nhân phải trả lời đúng màu nón đội trên đầu mình.

Giải pháp của anh lính trẻ tuổi thông minh như sau:

a) Tù nhân đứng cuối quan sát kỹ màu nón của 19 bạn tù đứng trước mình. Nếu số nón đỏ là số lẻ, anh ta sẽ trả lời ‘Đỏ’, còn nếu số nón xanh là số lẻ, anh ta sẽ trả lời ‘Xanh’. Vì có 19 nón, nên nếu số nón màu nầy chẳn thì số nón màu kia phải lẻ. Không có luận cứ gì để biết trước là trả lời đó đúng hay sai. Đó chỉ là một sự may rủi mà thôi và xác suất để tù nhân đứng cuối được tha chỉ là 50%.

Điều thật quan trọng là các tù nhân khác phải ghi nhớ rõ câu trả lời của tù nhân đứng cuối nầy và qui ước về bậc chẳn lẻ gắn liền với câu trả lời đó. Thí dụ, nếu tù nhân đứng cuối trả lời là ‘Xanh’ thì có nghĩa là ‘Xanh bắt đầu là lẻ’. Bắt đầu từ đây, mỗi khi các tù nhân nghe một tù nhân khác đứng gần hay xa ở sau mình trả lời ‘Xanh’ thì anh ta phải đổi bậc chẳn lẻ của màu xanh, thí dụ lẻ thành chẳn, chẳn thành lẻ. Để dễ theo dỏi, trong những phần tiếp theo, tác giả giả sử tù nhân đứng cuối đã trả lời là nón của anh có màu‘Xanh’.

b) Đến phiên tù nhân đứng kế cuối, anh nầy đếm số các nón xanh của những bạn tù đứng trước mình.
Nếu số nầy là số lẻ, thì rõ ràng là màu nón của anh đã không làm thay đổi con số nón màu xanh mà tù nhân đứng cuối đã ngụ ý cho biết, tức là nón anh phải có màu ‘Đỏ’.
Nếu số nầy là số chẳn, thì rõ ràng là màu nón của anh đã làm thay đổi con số nón màu xanh mà tù nhân đứng cuối đã ngụ ý cho biết, tức là nón anh phải có màu ‘Xanh’. Các tù nhân đứng trước anh, khi nghe câu trả lời của anh, phải thay đổi bậc chẳn lẻ của màu xanh, bây giờ ‘Xanh là chẳn’.

c) Đến phiên tù nhân kế tiếp, anh nầy cũng đếm số các nón xanh của những bạn tù đứng trước, để ý rằng bây giờ ‘Xanh là chẳn’.
Nếu số nầy là số lẻ, thì rõ ràng là màu nón của anh đã làm thay đổi con số nón màu xanh mà anh đã ghi nhớ, tức là nón anh phải có màu ‘Xanh’. Các tù nhân đứng trước anh, khi nghe câu trả lời của anh, phải thay đổi bậc chẳn lẻ của màu xanh, bây giờ ‘Xanh là lẻ’.
Nếu số nầy là số chẳn, thì rõ ràng là màu nón của anh đã không làm thay đổi con số nón màu xanh mà anh đã ghi nhận, tức là nón anh phải có màu ‘Đỏ’.

d) Cứ thế tiếp tục cho đến tù nhân đứng đầu, mỗi tù nhân chỉ cần để ý rằng:

• Câu trả lời của tù nhân đứng cuối xác định màu chuẩn có bậc lẻ đầu tiên (cũng gọi là bậc của màu chuẩn)
• Mỗi khi một tù nhân trả lời là nón mình có màu chuẩn thì cấp bậc của màu chuẩn phải thay đổi, thí dụ từ lẻ sang chẳn hay ngược lại)
• Khi đến phiên mình, tù nhân đếm số nón có màu chuẩn của những bạn tù đứng trước mình.
Nếu số nầy cùng bậc đã biết của màu chuẩn, thí dụ cùng chẳn hay cùng lẻ, thì trả lời đúng không phải là màu chuẩn
Nếu số nầy khác bậc đã biết của màu chuẩn, thí dụ một chẳn một lẻ, thì trả lời phải là màu chuẩn.

May mắn là tất cả các tù nhân đều hiểu rõ và thực hiện theo đúng kế hoạch đã chỉ dẩn của người bạn tù trẻ tuổi thông minh trong nhóm. Kết quả là có 19 tù nhân đã tránh được án tử hình. Có một tù nhân bị y án tử hình, mà thương thay, người đó lại chính là người tù trẻ tuổi thông minh nhất của nhóm. Tại sao vậy? Tác giả xin để độc giả tự trả lời câu hỏi nầy.

Một câu hỏi khác cũng xin mời các độc giả suy nghĩ: nếu chỉ có 15 tù nhân thì giải pháp của anh lính trẻ thông minh trên có thể áp dụng được hay không? Nếu được thì có bao nhiêu tù nhân chắc chắn (tức là 100%) được tha bổng?

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)