Trong một cuộc thi về kiến thức do một đài truyền hình tổ chức, thí sinh đạt điểm cao nhứt được người hướng dẩn chương trình cho thấy 3 cánh cửa đóng, đàng sau một cánh cửa là một chiếc xe hơi, đàng sau 2 cánh cửa còn lại mỗi cánh là một con dê. Thí sinh chọn một cánh cửa và được thưởng chiếc xe hơi hay con dê đàng sau cánh cửa. Có điều đặc biệt là sau khi thí sinh đã chọn một cánh cửa, người điều khiển chương trinh không mở liền cánh cửa đó mà lại mở một cánh cửa khác với con dê phía sau và cho phép thí sinh được quyền thay đổi ý kiến, tức là có thể thay đổi cánh cửa đã chọn. Theo ý bạn thì thí sinh nên chọn cách nào, giử nguyên cánh cửa đã chọn hay chọn cánh cửa khác? Hay nói cách khác xác suất của 2 lựa chọn khác nhau thế nào? Trước khi đọc tiếp, xin bạn hãy dành vài phút suy nghỉ để có một trả lời cho riêng mình.

*     *     *

Câu chuyện hai con dê và chiếc xe hơi được Marilyn von Savant , một ký giả phụ trách một cột báo ngày Chủ nhựt của nhiều nhật báo, xét lại. Theo ý kiến của Marilyn, thí sinh nên chọn cánh cửa khác vì nếu giử cánh cửa đã chọn thì xác suất để được xe hơi là 1/3 trong lúc đó xác suất nếu chọn cánh cửa khác là 2/3.
Sau đó thì thư từ được gởi tới tấp đến tòa soạn, có cả thư của những người có bằng cấp cao về Toán, chỉ trích kết luận của Marilyn. Theo họ thì lúc bắt đầu, xác suất để cánh cửa có xe hơi là 1/3 và, sau khi một cánh cửa với con dê được mở ra thì chỉ còn 2 cánh cửa đóng mà một có xe hơi đàng sau, vậy xác suất đó phải như nhau và bằng ½ hay 50%.
Theo bạn thì ý kiến nào đúng, ý kiến nào sai hay cả hai đều đúng hay cả hai đều sai?

*   *   *

Bài toán hai con dê và chiếc xe hơi đã gây ra nhiều tranh luận vì những giả thiết ban đầu của bài toán đã không được xác định rõ ràng. Những giả thiết đó như sau:

1) Người điều khiển chương trình là người ngay thẳng, luôn luôn cho phép thí sinh thay đổi cánh cửa đã chọn nếu muốn, dù biết rằng đàng sau nó có xe hơi hay không.
Nếu người điều khiển chương trình không ngay thẳng thì thí sinh chỉ cần giữ sự lựa chọn ban đầu là tốt nhứt vì thí sinh chỉ được đề nghị thay đổi cánh cửa đã chọn khi đàng sau cánh cửa nầy có chiếc xe hơi!

2) Người điều khiển chương trình biết rõ cánh cửa có xe hơi đàng sau. Khi ông ta mở cánh cửa, ông ta đã tránh không chọn cánh cửa nầy, nhưng chọn cánh cửa có con dê đàng sau.

Không có những giả thiết trên thì kết luận của Marilyn là sai và những ý kiến chỉ trích của độc giả là đúng. Tuy nhiên, kết luận đó không sai khi những giả thiết trên được xác định rõ ràng.

Một cách đơn giản để giải thích kết luận của Marilyn là như sau.

Nếu thí sinh không thay đổi cánh cửa đã chọn ban đầu, thí sinh sẽ thắng nếu sự lựa chọn ban đầu đó đúng. Xác suất của sự lựa chọn đúng lúc ban đầu nầy là 1/3.

Nếu thí sinh thay đổi cánh cửa đã chọn ban đầu, thí sinh sẽ thua nếu sự lựa chọn ban đầu đó đúng, nhưng sẽ thắng nếu sự lựa chọn ban đầu đó sai. Xác suất của sự lựa chọn sai lúc ban đầu nầy – nhưng đúng sau khi thay đổi – là 2/3. Như vậy xác suất để được xe hơi 1/3 nếu giử nguyên và 2/3 nếu thay đổi cánh cửa chọn ban đầu, mà Marilyn đã đưa ra là đúng.

Tuy nhiên lý luận trên không giải thích được tại sao xác suất ½ – ½ giữa 2 ý kiến giữ nguyên hay thay đổi của độc giả là không đúng. Thật ra, ý kiến nầy đúng nếu người điều khiển chương trình đã mở 1 trong 2 cánh cửa một cách ngẫu nhiên và tình cờ đàng sau cánh cửa nầy là một con dê. Nhưng theo giả thiết trên, người điều khiển chương trình đã không mở cánh cửa một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, ông ta đã tránh mở cánh cửa có xe hơi đàng sau!

Nếu tất cả mọi chọn lựa của thí sinh cũng như của người điều khiển chương trinh đều hoàn toàn ngẫu nhiên thì xác suất ban đầu để có xe hơi sau 3 cánh cửa là như nhau và bằng 1/3 (hay ½ – ½ sau khi người điều khiển chương trinh đã mở cánh cửa có con dê đàng sau). Tuy nhiên vì có giả thiết là người điều khiển đã tránh mở cánh cửa có xe hơi đàng sau nên các xác suất nầy không còn bằng nhau nữa.

Thử chứng minh kết luận của Marilyn bằng trực giác. Giả sử có một trò chơi với 3 cửa 1, 2 và 3, có thể giúp bạn lặp lại bài toán hai con dê và chiếc xe hơi nhiều lần.

Trong các lượt chơi, giả sử bạn đều chọn cửa 1 là cửa có xe hơi. Sau 6 lượt chơi, theo lý thuyết xác suất thì

a) Có 2 lần xe hơi ở cửa 1, người điều khiển có thể mở cửa 2 hoặc 3
b) Có 2 lần xe hơi ở cửa 2, người điều khiển phải mở cửa 3 hai lần
c) Có 2 lần xe hơi ở cửa 3, người điều khiển phải mở cửa 2 hai lần

Trung bình thì sau 6 lượt chơi, bạn có, theo sự phân bố đều của xác suất:

• Một lần xe hơi ở cửa 1 và người điều khiển mở cửa 2
• Một lần xe hơi ở cửa 1 và người điều khiển mở cửa 3
• Hai lần xe hơi ở cửa 2 và người điều khiển mở cửa 3 hai lần
• Hai lần xe hơi ở cửa 3 và người điều khiển mở cửa 2 hai lần

Trong 3 lần mà người điều khiển mở cửa 2 thì có 1 lần xe hơi ở cửa 1 và 2 lần xe hơi ở cửa 3. Tức là khi bạn chọn xe hơi ở cửa 1 và người điều khiển chọn cửa 2, và tương tự khi bạn chọn xe hơi ở cửa 1 và người điều khiển chọn cửa 3, thì xác suất để bạn thắng là 1/3 và thua là 2/3. Vậy: thay đổi cửa đã chọn là điều nên làm.

Mong rằng bài viết nầy giúp bạn có được vài phút thư giản.

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)