Trang nhà http://www.braingle.com hồi tháng chạp năm 2006 có đăng một bài toán nhỏ hóc búa như dưới đây:

Tìm số N có 5 con số a, b, c, d, e kể từ trái, tức là N = abcde, với những tính chất đặc biệt như sau:

– Con số a bằng số con số 0 trong số N
– Con số b bằng số con số 1 trong số N
– Con số c bằng số con số 2 trong số N
– Con số d bằng số con số 3 trong số N
– Con số e bằng số con số 4 trong số N

Rất tiếc là tác giả không thấy được lời giải của bài toán đó. Thôi thì tự tìm lấy vậy!

* * *

Số N có 5 con số và mỗi con số chỉ số lần mà 1 con số đặc biệt nào đó hiện diện trong số N, thí dụ, số c có 1 trị số, trị số nầy bằng số lần mà con số 2 xuất hiện trong số N. Số lần xuất hiện nầy khộng thể quá 5, tức là: các con số a, b, c, d, e chỉ có thể thay đổi từ 0 đến 5 mà thôi.

Vì a là con số đầu tiên nên phải khác 0, tức là a có thể có các trị số 5, 4, 3, 2 và 1. Xét các trường hợp đó.

a) a = 5 => N có 5 con số 0 mà ngoài a ra, N chỉ còn 4 con số b, c, d và e
=> Không nhận được

b) a = 4 => N có 4 con số 0 và e = 1 (thí dụ N chỉ có 1 con số 4, là a)
=> Chỉ còn 3 con số b, c và d là có thể bằng 0
=> Không nhận được

c) a = 3 => N có 3 con số 0 và d = 1 (thí dụ N chỉ có có 1 con số 3, là a)
=> b > 1 (b không thể bằng 1 vì như vậy N có chứa 2 con số 1, là d và b)
=> Chi còn 2 con số c và e là có thể bằng 0 (thực ra c cũng không thể bằng 0 nếu tiếp tục lý luận xa hơn, thí dụ nếu b = 2 thì c = 1, vv …)
=> Không nhận được

d) a = 2 => N có 2 con số 0 và c = 1 (thí dụ N chỉ có 1 con số 2, là a)
=> b > 1 (b không thể bằng 1, vì như vậy N có 2 con số 1, là c và b)
=> Xét trường hợp b = 2 => c > 2 (c không thể bằng 2, vì như vậy N có 3 con số 2, là a, b và c)
=> Xét trượng hợp c = 3 => d = 1 ( vì N có chứa 1 con số 3, là c)
=> Chỉ còn 1 con số e là có thể bằng 0 (thực ra e cũng không thể bằng 0 nếu tiếp tục lý luận xa hơn)
=> Không nhận được

Xét trường hợp c = 2

a = 2 => N có 2 con số 0 và c = 2 (thí dụ N chỉ có 2 con số 2, là a và c)
=> Trong 3 con số b, d và e phải có 2 con số 0 và 1 con số khác 0. Hai con số d hay e, nếu có một khác 0, sẽ kéo theo sự thay đổi của các con số khác và N không thể có 2 con số 0. Chỉ có b = 1, d = 0 và e = 0 là nhận được
=> N = 21200 là một số nhận được

e) a = 1 => N có 1 con số 0 và b > 1 (b không thể bằng 1 vì N sẽ có 2 con số 1, là a và b)
=> Xét trường hợp b = 2 => c = 2 (vì N có 2 con số 2, là b và c)
=> Trong 2 con số còn lại d và e, phải có 1 con số bẳng 1 và 1 con số bằng 0
=> Nếu d = 1 hay e = 1 thì N phải chứa con số 3 hay con số 4
=> Điều nầy không thể xảy ra

Tóm lai: Số N = 21200 là 1 số thoả những điều kiện đòi hỏi:

a = 2: N có 2 con số 0, là d và e
b = 1: N có 1 con số 1, là b
c = 2: N có 2 con số 2, là a và c
d = 0: N không có con số 3
e = 0: N không có con số 4

Trên đây, tác giả đã tìm được 1 nghiệm số của bài toán. Tác giả không nói rằng đó là một nghiệm duy nhất của bài toán. Độc giả nào tìm được những lời giải khác, xin cho tác giả biết. Thành thật cám ơn.

Bài toán nhỏ nầy hóc búa vì mỗi con số của N có 2 tính chất cùng một lúc: vừa có 1 trị số vừa xác định số lần của 1 con số đặc biệt nào đó hiện diện trong số N. Khi cho 1 con số của N 1 trị số nào đó, thì trị số đó cũng làm thay đổi trị số của những con số khác. Thí dụ, nếu chỉ con số a của N bằng 2 thì c phải bằng 1, mà c = 1 thì con số b ít nhất cũng phải bằng 1! Nếu vì N chỉ có c = 1 mà ta viết b = 1 thì cũng sai vì như thế thì N có 2 con số 1! Mà viết b = 2 thì phải tìm 1 con số khác chỉ xuất hiện có 1 lần. Nếu d hay e bằng 1 thì 3 hay 4 phải hiện diện trong số N! Chỉ có 1 trường hợp duy nhất (?) mà khi 1 trị số gán vào một con số không ảnh hưởng đến những con số khác là khi gán 1 vào con số b khi tất cả các con số khác đều khác 1. Hóc búa thật!

Thuận Hoà mời độc giả suy rộng “bài toán nhỏ hóc búa” đến các trường hợp số N có nhiều hơn 5 con số, thí dụ: số N có 6 con số a, b, c, d, e và f. Các điều kiện như trên, chỉ thêm điều kiện:

– Con số f bằng số con số 5 trong số N

Và … các trường hợp khác, số N có 6, 7, … con số!

Thuận Hoà