Chắc độc giả còn nhớ Quan Huyện nhân từ và thông đạt toán pháp Hồ Hải Bằng ở huyện Đông Sơn chứ?  Từ ngày nhậm chức đến nay, Quan Huyện đã cứu xét lại cả trăm hồ sơ của các tù nhân trong huyện và đã có vài chục tù nhân được thả ra trước thời hạn (Xem ‘Bài toán tù nhân (1)’ trong Việt Luận số Thứ Sáu, 18 tháng 9 năm 2009 hay trang nhà http://docvui-suynghi.net/, kỳ 27).

Hôm nay, Quan Huyện chỉ xét hồ sơ của 3 tù nhân: tù nhân A, tù nhân B và cũng lại có mặt tù nhân C, mù cả 2 mắt, rất thông minh nhưng ngông ngông!

Lần nầy, Quan Huyện có quyết định như sau:

 Quan có 5 nhãn có keo dính:  3 nhãn màu xanh và 2 nhãn màu trắng. Quan bảo lính bịt mắt cả 3 tù nhân rồi dán lên trán của mỗi tù nhân 1 nhãn. Xong, Quan cho các tù nhân được thấy nhau một cách im lặng, không được hỏi chuyện nhau. Quan giải thích:

“Tôi có 5 nhãn, 3 nhãn màu xanh, 2 nhãn màu trắng. Bây giờ trên trán của mỗi tù nhân có dán 1 nhãn. Tù nhân nào nói đúng được màu của nhãn dán trên trán mình thì sẽ được tha”.

Mỗi tù nhân không thể thấy được màu của nhãn dán trên trán mình, nhưng có thể thấy được màu của nhãn dán trên trán của 2 tù nhân kia. Chỉ khổ cho tù nhân C, vì khiếm thị nên không thấy gì hết! chỉ được Quan Huyện cho một đặc ân là người được trả lời sau cùng. Lời trả lời của tù nhân cũng như quyết định “Tha” hay “Không Tha” của Quan Huyện đều được hô lớn lên để mọi người cùng nghe.

 Sau khi quyết định được thi hành, kết quả sau cùng là: tù nhân A và tù nhân B không được tha, nhưng tù nhân C lại được tha!

Thế là kẻ sáng mắt không bằng người mù mắt!

Trước khi tiếp tục, xin độc giả hãy tự mình giải thích xem trong trường hợp nào mà câu chuyện lại có kết quả ngược đời như thế!. Cũng nên biết thêm rằng các tù nhân A, B và C đều là những người có trình độ, biết cân nhắc kỹ càng giữa màu của những nhãn thấy trước mắt và của những nhãn còn lại, trước khi quyết định về màu của nhãn dán trên trán mình.

*        *        *

Trước hết, chúng ta hãy xét trường hợp tổng quát, tất cà các trường hợp có thể xảy ra, xem tù nhân C cũng sáng mắt như các tù nhân khác.

Tronh Hình 1, X và T lần lượt chỉ màu  Xanh và Trắng của nhãn dán trên trán của tù nhân, A(X) hay A(T) lần lượt chỉ nhãn trên trán của tù nhân A có màu Xanh hay màu Trắng. Tương tự với B(X) hay B(T) và C(X) hay C(T).

Số nhãn tổng cộng là 3 Xanh, 2 Trắng, sẽ được ký hiệu là 3X + 2T.

Xác suất để nhãn trên trán có màu Xanh là p(X), và có màu Trắng là p(T).

 Theo Hình 1, có tất cả 8 trường hợp có thể xảy ra:

 1)   Trường hợp (1), nhánh ABCD: A(X), B(X), C(X)

 A nhìn B(X) và C(X)  =>  Nhãn còn lại: 1X + 2T    => p(X) = 1/3  <  p(T) = 2/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Trắng
                                =>  A sai

B nhìn C(X) và A(X), giống như trên, B hô lên: nhãn trên trán mình có màu Trắng   =>  B sai

C nhìn A(X) và B(X), giống như trên, C hô lên: nhãn trên trán mình có màu Trắng   =>  C sai  =>  Không chấp nhận được vì C đúng

Tóm lại, trường hợp (1) đã không thể xảy ra.

 2)   Trường hợp (2), nhánh ABCE: A(X), B(X), C(T)

 A nhìn B(X) và C(T)   =>  Nhãn còn lại: 2X + 1T   => p(X) = 2/3  >  p(T) = 1/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A đúng  =>  Không chấp nhận được vì A sai

Tóm lại, trường hợp (2) đã không thể xảy ra.

 3)   Trường hợp (3), nhánh ABCF: A(X), B(T), C(X)

 A nhìn B(T) và C(X)   =>  Nhãn còn lại: 2X + 1T   => p(X) = 2/3  >  p(T) = 1/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A đúng  =>  Không chấp nhận được vì A sai

Tóm lại,  trường hợp (3) đã không thể xảy ra.

4)   Trường hợp (4), nhánh ABCG: A(X), B(T), C(T)

 A nhìn B(T) và C(T)   =>  Nhãn còn lại: 3X   => p(X) = 3/3  =  1
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A đúng  =>  Không chấp nhận được vì A sai

Tóm lại, trường hợp (4) đã không thể xảy ra.

 5)   Trường hợp (5), nhánh ABCH: A(T), B(X), C(T)

 A nhìn B(X) và C(T)   =>  Nhãn còn lại: 2X + 2T  => p(X) = 2/3  >  p(T) = 1/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A sai

B nhìn C(T) và A(T)   =>  Nhãn còn lại: 3X  => p(X) = 3/3  =  1
                                =>  B hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  B đúng  =>  Không chấp nhận được vì B sai

Tóm lại, trường hợp (5) đã không thể xảy ra.

 6)   Trường hợp (6), nhánh ABCK: A(T), B(X), C(X)

 A nhìn B(X) và C(X)  =>  Nhãn còn lại: 1X + 2T  => p(X) = 1/3  <  p(T) = 2/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Trắng
                                =>  A đúng  =>  Không chấp nhận được vì A sai

Tóm lại, trường hợp (6) đã không thể xảy ra.

 7)   Trường hợp (7), nhánh ABCM: A(T), B(T), C(T)

 A nhìn B(T) và C(T)   =>  Nhãn còn lại: 3X  => p(X) = 3/3  =  1
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A sai

B nhìn C(T) và A(T), giống như trên, B hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh   =>  B sai

C nhìn A(T) và B(T), giống như trên, C hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh   =>  C sai  =>  Không chấp nhận được vì C đúng

Tóm lại, trường hợp (7) đã không thể xảy ra.

 8)   Trường hợp (8), nhánh ABCN: A(T), B(T), C(X)

 A nhìn B(T) và C(X)   =>  Nhãn còn lại: 2X + 1T   =>   p(X) = 2/3  >  p(T) = 1/3
                                =>  A hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                                =>  A sai

B nhìn C(X) và A(T), giống như trên, B hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh   =>  B sai

C nhìn A(T) và B(T)   =>  Nhãn còn lại:  3X   =>  p(X) = 3/3 =  1
                               =>  C hô lên: nhãn trên trán mình có màu Xanh
                               =>  C đúng

Tóm lại, trường hợp (8) đã xảy ra như kết quả cho biết

 Tóm lại, trường hợp hợp lý nhất để A và B đều trả lời sai mà C lại trả lời đúng là trường hợp 8:

             A được dán nhãn Trắng mà trả lời sai là Xanh
             B được dán nhãn Trắng mà trả lời sai là Xanh
             C được dán nhãn Xanh và trả lời đúng là Xanh

 Độc giả có thể nêu câu hỏi là tù nhân C khiếm thị, không thấy được màu của nhãn dán trên trán của 2 tù nhân A và B thì làm sao trường hợp (8) lại có thể xảy ra?

 Thật sự, sự việc đã xảy ra như thế nầy:

 a)   Khi tù nhân A cho biết nhãn trên trán của mình có màu Xanh và Quan Huyện hô lên “Không Tha”, thì tù nhân C nghe và biết được rằng nhãn trên trán của A là màu Trắng.

b)   Khi tù nhân B cho biết nhãn trên trán của mình có màu Xanh và Quan Huyện hô lên   “Không Tha”, thì tù nhân C nghe và biết được rằng nhãn trên trán của B là màu Trắng.

c)    Vì tất cả chỉ có 2 nhãn có màu Trắng, nên tù nhân C dễ dàng biết được là nhãn trên trán của mình có màu Xanh!

 Một lần nữa, tù nhân khiếm thị C lại thoát khỏi tù tội. Nhưng không biết ngày nào ông ta lại vào thăm Quan Huyện nữa đây! Xin thành thật cảnh cáo ông vì dịp may sẽ không phải luôn luôn đứng về phía ông!

Thuận Hoà