Bác Sáu sửa đồng hồ ở cuối phố có 5 đồng hồ phải điều chỉnh lại giờ cho đúng. Theo tay bác chỉ, tôi thấy giờ chỉ trên 5 đồng hồ đó là:

9.34     8.24     8.46      8.28       10.08            (1)

Bác nói:  “Tất cả 5 đồng hồ đều chạy nhanh. Về mức sai chạy, thì có 3 đồng hồ có độ sai trung bình là 1 giờ 02 phút và có 2 đồng hồ có độ sai trung bình là 17 phút.”.

Dựa vào những dữ kiện trên, làm sao biết được giờ chính xác lúc đó?  Mời độc giả giúp giùm.

*      *      *

Bài toán nầy nhìn qua tưởng dễ nhưng thật ra rất khó, khó vì giả thiết có vẽ mơ hồ, thiếu sót khiến người giải không biết phải bắt đầu như thế nào.

Gọi p và q là 2 giờ trong (1) có độ sai trung bình là 17 phút (hay 0.17)
(p và q cũng chỉ 2 đồng hồ)
Gọi x là giờ chính xác phải tìm nếu chỉ căn cứ vào 2 đồng hồ p và q.
Gọi a và b lần lượt là độ sai của p và q.

Theo giả thiết thì         (a + b) / 2 = 0.17          (2)

Vì các đồng hồ đều chạy nhanh, nên:

=> p – a = x          (3)           và              q – b = x            (4)

Cộng vế (3) và (4):

(p + q) – (a + b) = 2x               (5)

Suy ra, theo (2):

               (6)

Giờ chính xác x phải nhỏ hơn tất cả các giờ trong (1).

=> x < 8.24        (vì 8.24 là giờ nhỏ nhất)

=> p + q < 2 (8.24 + 0.17) => p + q < 17.22         (7)

Trong số những giờ trong (1), tìm những cặp giờ p, q thoả điều kiện (7). Từ đó, suy ra giờ chính xác x của 2 đồng hồ p và q theo phương trình (6).

Tính độ sai của 3 đồng hồ còn lại, khác p và q, suy ra độ sai trung bình của 3 đồng hồ nầy. Nếu độ sai trung bình nầy đúng như giả thiết đã cho, thì giờ chính xác x của p và q cũng là giờ chính xác cho cả 5 đồng hồ.

Trong 5 giờ của (1), 2 giờ 9.34 và 10.08 ghép với bất cứ giờ nào còn lại cũng không thoả điều kiện (7). Chỉ còn 3 giờ 8.24, 8.46 và  8.28 nếu ghép từng đôi thì thoả điều kiện (7).

Xét các trương hợp sau đây:

Trường hợp 2 giờ p = 8.24 và q = 8.46.  

 Theo (6)  =>

Ba giờ còn lại là 9.34, 8.28 và 10.08 và độ sai là:

9.34 – 8.18 = 1.16
8.28 – 8.18 = 0.10
10.08 – 8.18 = 1.50

=> Độ sai trung bình = (1.16 + 0.10 + 1.50) / 3 = 0.65.20
Kết quả nầy không ăn khớp với giả thiết mà trị số đúng là 1.02.
=> x = 8.18 không phải là giờ chính xác cho cả 5 đồng hồ.

Trường hợp 2 giờ p = 8.24 và q = 8.28.   

Theo (6) =>

Ba giờ còn lại là 9.34, 8.46 và 10.08 và độ sai là:

9.34 – 8.09 = 1.25
8.46 – 8.09 = 0.37
10.08 – 8.09 = 1.59

=> Độ sai trung bình = (1.25 + 0.37 + 1.59) / 3 = 1.07

Kết quả nầy không ăn khớp với giả thiết mà trị số đúng là 1.02.
=> x = 8.09 không phải là giờ chính xác cho cả 5 đồng hồ.

Trường hợp 2 giờ p = 8.46 và q = 8.28. 

Theo (6)  =>

Ba giờ còn lại là 9.34, 8.24 và 10.08 và độ sai là:

9.34 – 8.20 = 1.14
8.24 – 8.20 = 0.04
10.08 – 8.20 = 1.48

=> Độ sai trung bình = (1.14 + 0.04 + 1.48) / 3 = 1.02
Kết quả nầy ăn khớp với giả thiết mà trị số đúng là 1.02.
=> x = 8.20 cũng là giờ chính xác cho cả 5 đồng hồ.

Tóm lại, giờ chính xác cho cả 5 đồng hồ là 8 giờ 20 phút.

Mong rằng độc giả có được vài phút vận dụng trí óc của mình!

Thuận Hoà