Bạn có một vòng tròn. Trên vòng tròn, bạn chấm một số điểm bất kỳ. Từ mỗi điểm đó, bạn kẻ những đoạn thẳng (hay dây cung) nối với những điểm còn lại. Vòng tròn và các dây cung chia mặt vòng tròn thành những vùng lớn nhỏ khác nhau.

Làm sao bạn tìm được công thức tính số vùng trên mặt vòng tròn theo số điểm trên vòng tròn?

Phương pháp thông thường để giải bài toán nầy là bạn bắt đầu từ những trường hợp đơn giản như dưới đây.  Gọi n là số điểm trên vòng tròn và V là số vùng phân chia bời vòng tròn và các dây cung.

1)      n = 1  hay có 1 điểm trên vòng tròn  =>  Vùng duy nhất là mặt vòng tròn:  V = 1
Xem hình H1.

2)      n = 2  hay có 2 điểm trên vòng tròn  =>  Chỉ có 1 dây cung chia vòng tròn thành 2 vùng:  V = 2.  Xem hình H2.

3)      n = 3  hay có 3 điểm  trên vòng tròn  => Có 3 dây cung, là 3 cạnh của một tam giác nội tiếp, chia mặt vòng tròn thành 4 vùng:  V = 4.  Xem hình H3.

4)      n = 4  hay có 4 điểm trên vòng tròn  => Có 6 dây cung, là 4 cạnh và 2 đường chéo của một tứ giác nội tiếp, chia mặt vòng tròn thành 8 vùng:  V = 8.  Xem hình H4.

Kết quả của 4 trường hợp đơn giản trên có thể tóm tắt như sau:

n  =  1    =>      V =  1  =  2⁰
n  =  2    =>      V =  2  =  2¹
n  = 3     =>      V =  4  =  2²
n  = 4     =>      V =  8  =  2³

Đến đây, bạn có thể nghĩ rằng: công thức để tính V theo n là:  V = 2^(n-1)      (1)   

Nếu công thức trên đúng thì trường hợp n = 5  hay có 5 điểm trên vòng tròn thì số vùng sẽ bằng:

                        n  =  5   =>      V  = 2^(5-1)  =  2⁴  =  16

Kết quả nầy đúng với thực nghiệm như cho thấy bởi hình H5 sau đây:

Trường hợp n = 6  hay có  6 điểm trên vòng tròn thì sao?  Nếu công thức (1) đúng thì số vùng phải bằng:   V  =  2^(6-1)  = 2⁵  =  32

Kết quả nầy không đúng với thực nghiệm. Dù 6 điềm trên vòng tròn thay đổi thế nào, cũng chỉ cho có 31 vùng!

Với n = 7, 8, 9 và 10  số vùng lần lượt bằng  57, 99, 163 và 256.

Tóm lại, công thức đơn giả (1) không thể áp dụng cho mọi trường hợp của các điểm trên vòng tròn.

Theo bài “The Surprising Regions Formula!” trong http://www.murderousmaths.co.uk/ thì công thức tính V theo n rất phức tạp hơn nhiều và như sau:

                   V  =  (n⁴ – 6n³ +23n² – 18n +24) / 24

với  n  là số điểm trên vòng tròn.

Bạn thử nghiệm lại xem có đúng không?

Thuận Hoà vẫn còn mù tịt với công thức nầy. Độc  giả nào chứng minh được hay biết được tung tích của no, xin cho Thuận Hoà biết. Thành thật cám ơn.

Thuận Hoà