Kỳ phát hành vừa qua, Thuận Hoà đã bàn về Lô tô ‘xích tem’ với mục đích giúp độc giả hiểu được sự vận hành của một trò chơi bình dân mà rất nhiều đồng bào tỵ nạn ta ưa thích. Bài viết đó chỉ chú trọng vào sự tính toán các giải trúng trong một khung Lô tô ‘xích tem’ mà bỏ qua một phần quan trọng là làm sao tính được xác suất của những giải trúng đó. Bài viết nầy sẽ bổ túc phần thiếu sót đó. Thay vì xét lại cùng hệ thống Lô tô ‘6 trên 45 với 2 số phụ’, tác giả xin bàn về xác suất các giải trúng trong Lô tô Powerball, lý do đơn giản vì trường hợp nầy thú vị hơn!

Lô tô Powerball là một trò chơi quốc gia điều hành bởi nha xổ số NSW ở NSW và ACT, xổ mỗi tối thứ Năm trên băng tần 7. Mỗi khung Lô tô Powerball tiêu chuẩn gồm 5 số chính và 1 số đặc biệt gọi là số Powerball. Các số chính ở trong khoảng từ 1 đến 45 và phải khác nhau. Số Powerball cũng ở trong khoảng từ 1 đến 45 và có thể trùng với một trong 5 số chính. Lô tô Powerball có 7 giải trúng như sau:

Tính xác suất của những giải trúng cho 1 khung tiêu chuẩn Lô tô Powerball.

Xác suất là cơ hội để một hiện tượng nào đó có thể xảy ra. Thí dụ trong 1 bao có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Xác suất để lấy ra được 1 viên bi xanh là 4/10 hay 0.40 hay 40% và xác suất để không lấy được 1 viên xanh là 1 – 4/10 hay 6/10 hay 0.60 hay 60%. Nếu sau khi lấy được 1 viên xanh rồi thì xác suất để lấy tiếp được 1 viên xanh thứ hai là 3/9. Xác suất để lấy ra được 2 viên xanh liên tiếp bằng 4/10 x 3/9 = 2/15 = 0.1333 hay 13.33%. Xác suất, là tên gọi trong Toán học, cũng thường được gọi là ‘Cơ hội’ hay ‘Lợi thế’ (odds) trong giới truyền thông.

Các số trúng chính là 5 số xổ ra từ 45 số từ 1 đến 45 trong lồng số thứ nhứt. Như đã giải thích , số tập hợp khác nhau gồm 5 số có thể xổ ra từ 45 số bằng số tập hợp của 45 vật chập 5:

45! là Giai thừa của 45 và bằng 45 x 44 x 43 x 42 x 41 x ………..x 3 x 2 x 1

Xác suất để trúng 5 số chính bằng 1/ 1,221,759                  (2)

Số Powerball xổ ra từ 45 số từ 1 đến 45 trong lồng số thứ hai. Xác suất để trúng số Powerball bằng 1/45.

Vậy, xác suất để trúng giải nhứt, tức là ‘Trúng 5 số chính và trúng số Powerball’, bằng:

Nói khác đi, cơ hội để thắng giải nhứt của 1 khung Powerball là 1 trong 54,979,155 trường hợp, viết là 54,979,155 : 1

Xác suất để trúng 5 số chính bằng 1/1,221,759 theo (2). Đó có phải là xác suất để trúng giải nhì, chỉ trúng 5 số chính, hay không? Xin độc giả hãy dừng lại vài phút để suy nghĩ xem kết luận đó đúng hay sai.  Thưa, kết luận đó sai vì đã bỏ quên vế thứ hai của giải nhì là ‘không trúng số Powerball’!

Xác suất để trúng số Powerball bằng 1/45. Suy ra, xác suất để không trúng số Powerball phải là 1 – 1/45 hay 44/45.
Vậy, xác suất để trúng giải nhì , tức là ‘Trúng 5 số chính và không trúng số Powerball’ bằng:

Nói khác đi, cơ hội để trúng giải nhì của 1 khung Powerball là 1 trong 1,249,526 trường hợp, viết là 1,249,526 : 1

Xác suất để trúng giải ba ‘Trúng 4 số chính và trúng số Powerball’, được tính như sau:

Số tập hợp khác nhau gồm 4 số trong 5 số ghi trên khung Lô tô bằng 5 vật chập 4, hay C(5,4) = 5, tức là, trong 5 số chính đã xổ ra, có 5 trường hợp để một khung Lô tô Powerball có thể trúng 4 số chính.
Trừ 5 số đã xổ ra, trong lồng số còn lại 40 số và số không xổ ghi trong khung Lô tô phải là 1 trong 40 số nầy. Tóm lại, có tất cả 5 x 40 = 200 trường hợp mà một khung Lô tô trúng 4 số chính. Vậy, xác suất để 1 khung Lô tô Powerball trúng 4 số chính bằng

200 / 1,221,759       (5)

Vì xác suất để trúng số Powerball bằng 1/45, nên xác suất để trúng giải ba, tức là ‘Trúng 4 số chính và trúng số Powerball’ bằng:

Tóm lại, cơ hội để trúng giải ba của 1 khung Powerball là 1 trong 274,896 trường hợp, viết là 274,896 : 1

Vì xác suất để không trúng số Powerball là 44/45, nên xác suất để trúng giải năm ‘Trúng 4 số chính và không trúng số Powerball’ bằng:

Tóm lại, cơ hội để trúng giải năm của 1 khung Powerball là 1 trong 6,248 trường hợp, viết là 6,248 : 1

Xác suất để trúng giải tư, tức là ‘Trúng 3 số chính và trúng số Powerball’, được tính như sau:

Số tập hợp khác nhau gồm 3 số trong 5 số ghi trên khung Lô tô bằng 5 vật chập 3, hay C(5,3) = 10, tức là, trong 5 số chính đã xổ ra, có 10 trường hợp để một khung Lô tô Powerball có thể trúng 3 số chính.
Trừ 5 số đã xổ ra, trong lồng số còn lại 40 số và 2 số không xổ ghi trong khung Lô tô phải là 2 trong 40 số nầy, tức là có C(40,2) = 780 . Tóm lại, có tất cả 10 x 780 = 7,800 trường hợp mà một khung Lô tô trúng 3 số chính. Vậy, xác suất để 1 khung Lô tô Powerball trúng 3 số chính bằng

7,800 / 1,221,759          (8)

Vì xác suất để trúng số Powerball bằng 1/45, nên xác suất để trúng giải tư,  3 số chính và trúng số Powerball bằng:

Tóm lại, cơ hội để trúng giải tư của 1 khung Powerball là 1 trong 7,049 trường hợp, viết là 7,049 : 1

Xác suất để trúng giải bảy, tức là ‘Trúng 3 số chính và không trúng số Powerball’, bằng:

Tóm lại, cơ hội để trúng giải bảy của 1 khung Powerball là 1 trong 160 trường hợp, viết là  160 : 1

Xác suất để trúng giải sáu ‘Trúng 2 số chính và trúng số Powerball’, được tính như sau:

Số tập hợp khác nhau gồm 2 số trong 5 số ghi trên khung Lô tô bằng 5 vật chập 2, hay C(5,2) = 10, tức là, trong 5 số chính đã xổ ra, có 10 trường hợp để một khung Lô tô Powerball có thể trúng 2 số chính.
Trừ 5 số đã xổ ra, trong lồng số còn lại 40 số và 3 số không xổ ghi trong khung Lô tô phải là 3 trong 40 số nầy, tức là có C(40,3) = 9,880 . Tóm lại, có tất cả 10 x 9,880 = 98,800 trường hợp mà một khung Lô tô trúng 2 số chính. Vậy, xác suất để 1 khung Lô tô Powerball trúng 2 số chính bằng

98,800 / 1,221,759         (11)

Vì xác suất để trúng số Powerball bằng 1/45, nên xác suất để trúng 2 số chính và trúng số Powerball bằng:

Tóm lại, cơ hội để trúng giải sáu của 1 khung Powerball là 1 trong 556 trường hợp, viết là 556 : 1

Power45

Power45 là một loại Powerball ‘xích tem’ với 1 khung Power45 tương đương với 45 khung Powerball tiêu chuẩn, tất cả đều có ghi cùng 5 số chính và số Powerball thì thay đổi từ 1 đến 45. Dù số Powerball xổ ra như thế nào cũng có 1 khung Powerball tiêu chuẩn trúng số Powerball đó nên Power45 chỉ có 4 giải: nhứt, ba, tư và sáu, và xác suất của những giải đó như sau, theo các phương trình (3), (6), (9) và (12), để ý rằng xác suất để trúng hay không trúng số Powerball không còn cần thiết nữa:

Trước khi chấm dứt, tác giả xin có một câu hỏi cùng độc giả:

Nếu nha xổ số đặt ra thêm giải tám ‘Không trúng các số chính, chỉ trúng số Powerball’, thì xác suất để trúng giải nầy trong Powerball tiêu chuẩn và trong Power45 là bao nhiêu?

Nếu câu trả lời là 1/45 trong Powerball tiêu chuẩn và 1 trong Power45, thì câu trả lời đó sai! Vậy câu trả lời đúng là như thế nào? Tác giả xin nhường câu trả lời cho quí vị độc giả thân mến!

Thuận Hoà