Có một bài toán đặc biệt có thể dùng để thử nghiệm óc suy luận sáng tạo, uyển chuyển, của học sinh. Bài toán có thể cho là khó nếu người giải cứ loay quay trong những cách giải qui ước, cổ điển, nhưng có thể cho là dễ nếu người giải có óc sáng tạo, biết xoay trở để tìm cách đặc biệt giải quyết bài toán.  Nội dung của bài toán như sau:

“Tìm một số có 6 hay 5 con số (abcdef), a có thể bằng 0, sao cho khi tách làm 2 để có 2 số
(abc) và (def), thì bình phương của tổng số (abc) + (def) bằng chính số (abcdef). 
Để bài toán có thể giải quyết được mà không cần phải viết một chương trình điện toán,
xét thêm điều kiện  (def)  >  200”

Chú thích:  (abc) chỉ một số có số hàng trăm là a, hàng chục là b và hàng đơn vị là c.

Bài toán có thể viết tóm tắt như sau:

(abcdef)    =>  [(abc) + (def)]² = (abcdef)    với  (def)  >  200           (1)

Nếu độc giả nghĩ rằng bài toán có 6 ẩn số phải tìm là a, b, c, d, e và f và phân tích
(abc)  =  100a + 10b + c
thì không biết có giải quyết được bài toán hay không?

Bạn thử tìm một phương pháp giải khác trước khi đọc tiếp lời giải của Thuận Hoà

*            *           *

Đặt  N = (abcdef),  A = (abc),   B = (def)    và   B  >  200

Theo(1),  ta có:

(A + B)² = (abcdef)
=>        A²  +  2 BA + B²  =  1000(abc) + (def) = 1000A + B                        (2)
=>        A² – 2(500 – B)A + B(B – 1)  =   0                                                      (3)

Xem (3) như là một phương trình bậc hai theo ẩn số A.

Tính biệt số  Δ’  =   (500 – B)² – B(B – 1)  =   250000  –  999B                    (4)

Phương trình (3) có nghiệm số thực khi  Δ’ ≥  0 hay
250000  – 999B  ≥  0   =>  B  ≤  250

Kết hợp với giả thiết, ta có:    200 <  B  ≤   250         (5)

Nghiệm của phương trình (3) là:

                         (6)

Để  đáp số A là số nguyên, Δ’  phải là bình phương của một số nào đó, thí dụ M
(4)  =>    250000 – 999B  = M²                      (7)

Suy ra:                                (8)

Để B là số nguyên,  250000 – M² phải là một bội số của 999  hay
250000 – M² = 999K

(8)  => B = K    (9)      và        M²  =  250000 – 999K            (10)

Theo (5) thì   200  <  K  ≤   250          (11)

Thay K từ 201 đến 250, K nhận được khi 250000 – 999K là một số chính phương  theo (10).

Theo (9) thì  B =  K  =  209

Từ (4), suy ra:     Δ’  =  250000 – 999 x 209  =  41209  =  203²

Suy ra nghiệm A từ (6):

=   500 –  209  ±  203

= >   A =  494   và     A =  88

Tóm lại:  Hai lời giải tìm được là:  N = 494209   và    N = 88209

Kiểm lại:          (494  + 209)² =  494209   và   (88 + 209)² = 88209

Thuận Hoà