Luỹ thừa của một số có thể được hiểu đơn giản là sự lập lại nhiều lần phép nhân với số đó. Định nghĩa đó không phải là sai vì  5 luỹ thừa 3 là 3 lần tích số của 5 (5³ = 5x5x5)! Nhưng với 5 luỹ thừa 0.2   (5^0.2) hay 5 luỹ thừa 3/7 (5^3/7) thì sao? Còn nữa, tại sao 0 luỹ thừa 0 lại bằng 1?
(0⁰ = 1)!  Đó là lý do chúng ta phải tìm hiểu sâu hơn về luỹ thừa.

Theo quan niệm cũ (tạm gọi như vậy), các phép tính có thể hiểu một cách đơn giả là: phép cộng  là sự lập lại của phép đếm, phép nhân là sự lập lại của phép cộng và luỹ thừa là sự lập lại của phép nhân. Vì các lần lặp lại là số nguyên, nên quan niệm cũ đó không áp dụng được với số lẻ hay phân số.

Quan niệm mới (tạm gọi như vậy) xem các phép tính như là các phép biền đổi: phép cộng như là phép trượt (thí dụ: trên một cây thước, kim đang chỉ nấc 4, nếu ta trượt kim thêm 1.6 nấc thì kim sẽ đến nấc 5.6), phép nhân như là phép tính tỉ lệ (thí dụ: với khoảng cách là 2cm, nếu lấy tỉ lệ 1.5, thì phải vẽ khoảng cách 3cm), luỹ thừa là phép tăng trưởng trong một khoảng thời gian (thí dụ: một lá sen lúc được thả xuống hồ có diện tích là s cm². Mỗi ngày lá sen nở rộng gấp 2 lần, thì sau 5 ngày lá sen sẽ rộng s x 2⁵ = 32s cm²)

Với quan niệm mới như trên, thì số mũ của luỹ thừa của một số có thể xem là sự thay đổi của số đó theo thời gian. Thời gian nầy không bắt buộc phải là số nguyên  nên giải quyết được vấn đề trục trặc về số nguyên của các lần lặp lại trong quan niệm cũ.

Bảng tóm tắt tính chất của luỹ thừa

Trường hợp số mũ 0

Trở lại bài toán lá sen trong phần trên, diện tích lá sen lúc đầu là s cm² và sau n ngày thì bằng
s x 2ⁿ cm². Lúc thả lá sen xuống hồ được kể là ngày 0. Lúc đó, diện tích lá sen là s x 2⁰ = s cm2.
Suy ra: 2⁰ = 1, hay tổng quát:  a⁰ = 1

Trường hợp 0^m

Trường hợp nầy kể như không có vấn đề tăng trưởng theo thời gian, kể cả thời gian lúc đầu (lúc mới thả lá sen xuốg hồ), tức là không có gì cả! lá sen cũng không có!, tức là:
0^m = 0    với  mọi m ≠  0

Trường hợp  0⁰

Đây là trường hợp gây nhiều tranh luận. Theo các nhà toán học cổ Hy lạp, thì định nghĩa 0⁰ = 1 giúp cho nhiều định lý tránh được những biện luận dài dòng.

Nếu lá sen, có lẽ vì sen quá già!, không tăng trưởng gấp đôi mỗi ngày, thì thừa số tăng trưởng 2ⁿ phải thay bằng 0ⁿ, dù bao nhiêu ngày, kể cả lúc đầu n = 0, tức là 0⁰. Diện tích lá sen luôn luôn bằng diện tích lúc đầu là s cm²:
s  =  s x 0ⁿ  =  s x 0⁰   =>   0⁰  = 1

Một bài toán vui về luỹ thừa

Tìm dư số của phép tính 10000²⁰¹¹ chia cho 3.

Lời giải:   

Ta có thể viết:   10000 = 10002 – 2
Số 10002 có tổng số các con số bằng 3, nên chia đúng cho 3
=>        10002 chia đúng cho 3.
=>        10000 = 10002 – 2 =  3K – 2 = 3(K – 1) + 3 – 2 = bs3 + 1    (bs: bội số)
=>        10000²⁰¹¹ = (bs3 + 1)²⁰¹¹ =  bs3 + 1
=>        Dư số của phép chia 10000²⁰¹¹ cho 3 là 1

 
Thuận Hoà