Hôm rồi, Tuấn về thăm mẹ ở Biên Hoà.  Hai mẹ con ngồi tâm tình với nhau. Nhân nói về tuổi của mẹ, Tuấn ngạc nhiên thấy rằng, năm nay tuổi của mẹ Tuấn là 64 và tuổi của Tuấn là 46. Vậy là tuổi của Tuấn bằng tuổi của mẹ Tuấn đảo ngược lại! Ngộ quá hả? Mẹ Tuấn nói và hỏi Tuấn: “Không biết hồi đó tới giờ và sau nầy, có năm nào khác mà tuổi của con bằng tuổi của mẹ đảo ngược lại như năm nay không?”. Tuấn ầm ờ không biết trả lời sao với mẹ, chỉ biết khất lần: “Để con tính rồi sẽ cho mẹ biết sau, chắc thế nào cũng có nhưng chưa biết năm nào!”.

Tội nghiệp thầy giáo Tuấn! Không ngờ được người mẹ ít học đặt cho một bài toán hóc búa! Mời độc giả bỏ chút thời giờ giúp thầy giáo Tuấn xem sao!

 *       *       *

Thuận Hoà thử đề nghị với thầy giáo Tuấn lời giải sau đây.

Gọi  M và C lần lượt là tuổi của mẹ Tuấn và của Tuấn.

Ta chỉ xét trường hợp tuổi của mẹ Tuấn nhỏ hơn 100.

Tuổi của mẹ Tuấn và của Tuấn đảo ngược khi:

M = ab = 10a + b             (1)
C  = ba = 10b + a             (2)

Tuổi của mẹ phải lớn hơn tuổi của con =>  a  >  b

Trừ vế (1) và (2):

M – C  =  10(a – b) – (a – b)  = 9(a – b)        (3)

Khi mẹ 64 tuổi thì con 46, tức là cách nhau M – C = 64 – 46 = 18 năm. Khoảng cách nầy không đổi ở bất cứ năm nào. Ta cũng suy ra được là mẹ Tuấn sinh ra Tuấn lúc mẹ 19 tuổi! (Tính theo kiểu Việt Nam, mới sinh ra là 1 tuổi!).

Trong (3), thay  M – C  bằng 18:

= >    9(a – b) = 18  =>  a – b  = 2  =>  a = b + 2              (4)

Vì      0  ≤  a, b  ≤  9   nên:

=>     b  thay đổi từ 0 đến 7
và      a  thay đổi từ 2 đến 9

Thay đổi b từ 0 đến 7, suy ra a và tuổi của mẹ Tuấn và của Tuấn như bảng dưới đây:

Tóm lại, trong các năm đã qua và những năm sắp tới, tuổi của mẹ Tuấn và tuổi của Tuấn có đảo ngược nhau đến 8 lần!

Nếu mẹ Tuấn may mắn thọ quá 100 tuổi thì đến năm bà 108 tuổi, trường hợp tương tự như vậy cũng xảy ra, lúc đó Tuấn là lão ông 90 tuổi!

*      *       *

Nhiững bài toán tương tự như bài toán trên không phải luôn luôn có 8 trường hơp của lời giải. Thí dụ, nếu tuổi của Tuấn là 18 và tuổi của cha Tuấn là 81 (chắc Tuấn là con của bà hai!), thì tuổi của cha Tuấn và của Tuấn đảo ngược nhau khi tuổi của cha Tuấn là 70,81 và 92 và tuổi của Tuấn là 7, 18 và 29.

Bài toán trên thú vị hơn nếu ta không biết trước tuổi hiện tại của mẹ (hay cha) và con. Nếu gọi khoảng cách về tuổi của 2 người là D, thì D phải có những điều kiện gì?

Có phải dù tuổi hiện tại của mẹ (hay cha) và con là thế nào, thì trong các năm đã qua và sắp tới, thế nào cũng có năm mà tuổi của 2 người đảo ngược nhau?

Mời quý độc giả trả lời những câu hỏi trên.

Thuận Hoà