Hôm qua, Bác Chín Kim Hoàn ở phố Lê Lợi có một vấn đề hóc búa vương vấn trong đầu, khiến Bác cứ thao thức suy nghĩ cả đêm không chợp mắt được! Số là Bác có một ông bạn thân thấy Bác tối ngày cứ nâng niu cái cân tiểu ly nhỏ để trong lồng kín trên bàn, nên thách Bác giải được bài toán sau đây với cái cân của Bác! Bài toán của ông bạn như sau:

“Tôi có 12 đồng tiền vàng, trong đó có 1 đồng tiền giả, không biết nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật. Với cái cân quý giá của Bác, Bác làm sao chỉ cân 3 lần mà tìm được đồng tiền giả và biết luôn là nó nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật. Nếu Bác tìm được, tôi sẽ đãi Bác một chầu nhậu ở quán Thiên Đình”.

Bài toán mới nghe quen quen, tìm được đồng tiền giả thì dễ quá! Nhưng bài toán nầy thì khác!  Chỉ cân 3 lần mà tìm được đồng tiền giả và biết được nó nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật! Bác Chín suy nghĩ nát óc mà không giải được cũng không gì lạ.

Bây giờ, mời quý độc giả thử giúp Bác Chín một phen, biết đâu cũng được mời nhậu ở quán Thiên Đình!

 *            *           *

Thuận Hoà xin đề nghị với Bác Chín cách cân các đồng tiền vàng như dưới đây.

Chia 12 đồng tiền thành 3 nhóm A, B và C, mỗi nhóm gồm 4 đồng tiền.
Gọi 4 đồng tiền của nhóm A là a1, a2, a3, a4; nhóm B là b1, b2, b3, b4 và nhóm C là  c1, c2, c3, c4.

Lần cân thứ nhất: Cân nhóm A với nhóm B

1) Nếu lần cân thứ nhất cân bằng

=> Đồng tiền giả nằm trong nhóm C

Lần cân thứ hai:  Cân 3 đồng tiền của nhóm C, thí dụ c1, c2, c3, với 3 đồng tiền thật bất kỳ của nhóm A, thí dụ a1, a2, a3 (hay B)

1.1) Nếu cân bằng => Đồng tiền giả là đồng tiền còn lại trong nhóm C, tức c4

Lần cân thứ ba: Cân đồng tiền giả c4 với 1 đồng thật trong 11 đồng còn lại

=> Biết được đồng tiền giả nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật.

1.2) Nếu không cân bằng => Giả sử nhóm A(a1a2a3) nặng hơn nhóm C(c1c2c3)

=> Đồng tiền giả, c1, c2 hay c3 nằm trong nhóm C, nhẹ hơn đồng tiền thật.

 Lần cân thứ ba: Cân c1 với c2

Nếu cân bằng => c3 là đồng tiền giả và nhẹ hơn đồng tiền thật

Nếu không cân bằng => đồng tiền giả là đồng tiền nhẹ hơn trong 2 đồng tiền C1 và C2

2) Nếu lần cân thứ nhất không cân bằng

=> Đồng tiền giả nằm trong nhóm A hoặc B. Giả sử nhóm A nặng hơn nhóm B.

Nếu nằm trong nhóm A => Đồng tiền giả nặng hơn đồng tiền thật    (1)

Nếu nằm trong nhóm B => Đồng tiền giả nhẹ hơn đồng tiền thật      (2)

Lần cân thứ hai:   Cân (2 đồng tiền của nhóm A, thí dụ a1, a2 + 1 đồng tiền của nhóm B, thí dụ b1) với
(2 đồng tiền của nhóm A, thí dụ a3, a4 + 1 đồng tiền của nhóm B, thí dụ b2)

2.1) Nếu cân bằng => Đồng tiền giả là b3 hay b4, một trong hai đồng tiền còn lại  trong nhóm B.

Lần cân thứ ba:  Cân đồng tiền b3 với đồng tiền b4

=> Đồng tiền nhẹ hơn là đồng tiền giả, nhẹ hơn đồng tiền thật.

2.2) Nếu không cân bằng:  Giả sử nhóm (a1a2 + b1) nặng hơn nhóm (a3a4 + b2)

Nếu đồng tiền giả nằm trong nhóm (a1a2 + b1)

=> Đồng tiền giả là a1 hoặc a2, nặng hơn đồng tiền thật. Thật vậy, nếu đồng tiền giả là b1, thì nhóm (a1a2 + b1) không thể nặng hơn nhóm (a3a4 + b2) theo (2)

Nếu đồng tiền giả nằm trong nhóm (a3a4 + b2)

=> Đồng tiền giả chính là b2 và nhẹ hơn đồng tiền thật. Thật vậy, nếu đồng tiền giả là a3 hoặc a4, thì nhóm (a3a4 + b2) không thể nhẹ hơn nhóm (a1a2 + b1) theo (1).

Lần cân thứ ba:  Cân đồng tiền a1 với đồng tiền a2

Nếu cân bằng => Đồng tiền giả là đồng tiền b2, nhẹ hơn đồng tiền thật

Nếu không cân bằng => Đồng tiền giả là đồng tiền bên phía nặng hơn.

Đồng tiền giả nầy nặng hơn đồng tiền thật.

Tóm lại, Bác Chín, nếu khéo thu xếp, chỉ cần cân 3 lần là có thể tìm được đồng tiền giả trong số 12 đồng tiền vàng. Bác còn biết được là đồng tiền giả nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật.

Thuận Hoà