Từ lúc bắt đầu đến nay, Thuận Hoà đã cống hiến quý độc giả nhiều bài toán, gọi là “Bài toán nhỏ hóc búa”.
Có bài chỉ cho đáp số mà không có lời giải, như “Bài toán nhỏ hóc búa” dưới đây (xem Chuyện Phiếm CP035).

Tìm một số N có 9 con số. Tất cả 9 con số đều khác nhau và ở trong khoảng
từ 1 đến 9.  Số N phải thoả các đièu kiện sau đây, kể từ trái sang phải: 

a)   Số hợp bởi con số thứ nhất chia đúng cdho 1
b)   Số hợp bởi hai con số đầu chia đúng cho 2
c)   Só hợp bởi ba con số đầu chia đúng cho 3
d)   Cứ thế tiếp tục, sau cùng số hợp 9 con số đầu, tức là số N, chia đúng cho 9

Trong bài viết nầy, Thuận Hoà xin trở lại bài toán hóc búa đó với lời giải trình bày rõ ràng.

Trước hết, xin nhắc lại vài tính chất chia đúng đơn giản như sau:

•   Số chẳn chia đúng cho 2
•   Số tận cùng bằng 5 chia đúng cho 5 (0 đã không kể)
•   Số chia đúng cho 3 khi có tổng số các con số chia đúng cho 3
•   Số chia đúng cho 4 khi số họp bỏi 2 con số cuối cùng chia đúng cho 4
•   Số chia đúng cho 8 khi số hợp bởi 3 con số cuối cùng chia đúng cho 8
•   Số chia đúng cho 9 khi tổng số các con số chia đúng cho 9.

*        *        *

Đặt                    N = A B C D E F G H M.

Số ABCDE chia đúng cho 5 => E = 5

AB chia đúng cho 2 => B chẳn.

ABCD chia đúng cho 4 => CD chia đúng cho 4 => D chẳn

ABC chia đúng cho 3 => A + B + C  chia đúng cho 3

ABCDEF chia đúng cho 6, nên chia đúng cho 2 và cho 3
=> F chẳn và A + B + C + D + E + F chia đúng cho 3.

Vì A + B + C chia đúng cho 3  nên   D + E + F chia đúng cho 3

= > D + F + 5  =  21, 18, 15, 12, 9       (để ý    3  ≤  D + F ≤ 17 )

= > D + F  =  16,  13,  10,  7,  4

Vì D và F đều chẳn và khác nhau nên chỉ có  D + F = 10  là nhận được

= > D = 2, F = 8   hay   D = 4, F = 6   hay   D = 6, F = 4   hay   D = 8, F = 2

Vậy, số DEF có thể là:     258, 456, 654 hay 852

= > F có thể là 8, 6, 4 hay 2

Số ABCDEFGH chia dúng cho 8, nên chia đúng chop 4

= > Số FGH chia đúng cho 8 và số GH chia đúng cho 4

= > GH có thể là:  12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 64, 68, 72, 76, 84, 92, 96

Với DEF = 258 => F = 8

Ghép với các số GH, FGH chia đúng cho 8 là (để ý các con số phải khác nhau):

FGH  =  816, 864 hay 896

Với DEF = 456 => F = 6

Ghép với các số GH, FGH chia đúng cho 8 là (để ý các con số phải khác nhau):

FGH  =  672

Với DEF = 654 => F = 4

Ghép với các số GH, FGH chia đúng cho 8 là (để ý các con số phải khác nhau):

FGH  = 432, 472

Với DEF = 852 => F = 2

Ghép với các số GH, FGH chia đúng cho 8 là (để ý các con số phải khác nhau):

FGH  =  216, 264, 296

Tóm lại, số DEFGH có thể là:

DEFGH  =  25816, 25864, 25896, 45672, 65432, 65472, 85216, 85264, 85296

Số N = ABCDEFGHM chia đúng cho 9 = N chia đúng cho 3

ABC và DEF chia đúng cho 3 => GHM chia đúng cho 3 hay G + H + M = bs3

GH = 16 (số thứ nhất)   => M = 2, 5  hay 8   =>  không nhận vì đã có
GH = 64 (số thứ nhì   ) =>  M = 2, 5  hay 8   => không nhận
GH = 96 (số thứ ba)      =>  M = 3, 6  hay 9   =>  3 nhận được
GH = 72 (số thứ tư)       =>  M = 3, 6  hay 9   =>  3 và 9 nhận được
GH = 32 (số thứ năm)  => M = 1, 4 hay 7    =>  1, 7 nhận được
GH = 72 (số thứ sáu)    => M = 3, 6 hay 9    =>  3 và 9 nhận được
GH = 16 (số thứ bảy)      => M = 2, 5 hay 8   =>  không nhận
GH = 64 (số thứ tám)   => M = 2, 5 hay 8   =>  không nhận
GH = 96 (số thứ chín)  => M = 3, 6 hay 9  =>  3 nhận được

Tóm lại, số DEFGHM hợp bởi 6 con số cuối cùng của N có thể là:

DEFGHM  =  258963, 456723, 456729, 654321, 654327, 654723, 654729, 852963

Ba con số đầu A, B  và  C tạo thành bởi những con số còn lại, trong đó phải có 1 con số chẳn cho B.

Các số có thể là:

147258963,  741258963,  189456723,  981456723,  183456729,  381456729,
789654321,  987654321,  189654327,  981654327,  189654723,  981654723,
138654729,  381654729,  147852963,  741852963

Loại các số ABCD không chia đúng cho 4, tức là CD không chia đúng cho 4, còn lại:

147258963,  741258963,  789654321,  987654321,  189654327,  981654327,
189654723,  981654723,  381654729

Trong các số trên, tìm các số có số hợp bởi 7 con số đầu tiên chia đúng cho 7.

Chỉ có một số tìm được là:   381654729   vì    3816547 = 7 x 545221

Tóm lại: bài toán có 1 lời giải là:     N = 381654729

Thuận Hoà