Kỳ nầy, Thuận Hoà xin trình bày cùng độc giả một bài toán số học vui. Bài toán có thể nói là “nát óc” đó như sau:

“Tìm một số N = abc gồm 3 con số a, b, c với a > c > 0, sao cho khi trừ N với số
đảo ngược của N thì được kết quả cũng gồm 3 con số a, b, c của N theo một thứ
tự nào đó.”

Bài toán khó vì đó là một bài tính trừ mà cả số trừ, số phải trừ và hiệu số đều chưa biết. Chỉ có một chi tiết có thể
giúp giải bài toán là 3 số đó có một sự liên hệ với nhau, là đều có cùng các con số như nhau.
Trước khi tiếp tục, mời độc giả thử tự mình giải quyết xem sao.

*         *        *

Bài toán thật ra là một tổng hợp của 6 bài toán nhỏ vì với 3 con số a, b và c, có tất cả 6 cách hoán vị (số nầy bằng giai
thừa 3, hay 3!) là: abc, acb, bca, cba, bac và cab.

Gọi N = abc là số phải tìm gồm 3 con số a, b, c với điều kiện a > c > 0. Số đảo ngược của N là cba.
Theo giả thiết, 6 trường hợp sau đây có thể xảy ra:

a) abc – cba = abc
b) abc – cba = acb
c) abc – cba = bca
d) abc – cba = cba
e) abc – cab = bac
f) abc – cba = cab

Tổng quát, gọi M là vế thứ nhất của bài toán trừ hay M = abc – cba

Khai triển và rút gọn:
M = (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 99(a – c)         (1)

Ta lần lượt xét 6 trường hợp của bài toán.

Trường hợp a):   M = abc

=> cba = 0 => không nhận được vì cba ≠ 0.

Trường hợp b):  M = acb

(1) => 99(a – c) = 100a + 10c + b
Rút gọn: a + 109c + b = 0
Vì a, c > 0 nên a + 109c + b > 0

=> Trường hợp b) không nhận được.

Trường hợp c): M = bca

(2) => 99(a – c) = 100b + 10c + a

Khai triển và rút gọn:
98a = 100b + 109c = 98b + 98c + 2b + 11c

=> a = b + c + (2b + 11c) / 98 (2)

a là số nguyên khi (2b + 11c) là bội số của 98.

(2b + 11c) lớn nhất bằng 117 khi b = c = 9.
Bội số của 98 nhỏ hơn 117 chỉ có thể là 98

=> 2b + 11c = 98                                                 (3)

Vì b, c < 10, nên (3) chỉ nghiệm đúng với b = 5 và c = 8 (2) => a = 5 + 8 + 1 = 14 > 9

=> Trường hợp c) không nhận được.

Trường hợp d):   M = cba

(2) => 99(a – c) = 100c + 10b + a

Khai triển và rút gọn:

98a = 199c + 10b = 196c + 3c + 10b
=> a = 2c + (3c + 10b) / 98 (4)

a là số nguyên khi (3c + 10b) là bội số của 98

(3c + 10b) lớn nhất bằng 117 khi b = c = 9.

Bội số của 98 nhỏ hơn 117 chỉ có thể là 98

=> 3c + 10b = 98                                            (5)

Vì b, c < 10, nên (5) chỉ nghiệm đúng với b = 8 và c = 6 (4) => a = 2×6 + 1 = 13 > 9

=> Trường hợp d) không nhận được.

Trường hợp e):   M = bac

(3) => 99(a – c) = 100b + 10a + c

Khai triển và rút gọn:

89a = 100b + 100c = 100(b + c) = 89(b + c) + 11(b + c)

=> a = b + c + 11 (b + c) / 89                       (6)

a là số nguyên khi (b + c) là bội số của 89.

Vì b + c ≤ 18 nên (b + c) không thể là bội số của 89

=> Trường hợp e)  không nhận được.

Trường hợp f):   M = cab

(2) => 99(a – c) = 100c + 10a + b

Khai triển và rút gọn:

89a = 199c + b = 178c + 21c + b
=> a = 2c + (21c + b) / 89                                 (7)

a là số nguyên khi (21c + b) là bội số của 89

(21c + b) lớn nhất bằng 198 khi b = c = 9.

Bội số nhỏ hơn 198 của 89 gồm có 89 và 178.

Xét trương hợp (21c + b) = 178                         (8)

Theo những điều kiện của b và c, không có trị số nào của b và c nghiệm đúng (8)

=> Trường hợp nầy không nhận được.

Xét trường hợp (21c + b) = 89                          (9)

Theo những điều kiện của b và c, (8) được nghiệm đúng khi b = 5 và c = 4

(7) => a = 2 x 4 + 1 = 9

Tóm lại:   Bài toán có 1 lời giải duy nhất là: N = 954    với a = 9, b = 5 và c = 4
và tính chất:    954 – 459 = 495

Thuận Hoà