Kỳ này, tác giả xin trình bày một bài toán số học vui mà độc giả có thể giải được chỉ nhờ vào máy tính cầm tay của mình.
Bài toán đó như sau:

“Tìm tất cả số chính phương N gồm 4 con số khác 0 mà số hợp bởi 2 con
số đầu và số hợp bởi 2 con số cuối cũng là những số chính phương”

(Chú thích: Số chính phương khi số đó là bình phương của một số khác, thí dụ 16 = 4²,  25 = 5² là 2 số chính phương).

Trước khi giải bài toán trên, ta xét trường hợp đơn giản hơn với số chính phương N chỉ có 2 con số và 2 con số đó cũng là những số chính phương.

Trong những con số từ 1 đến 9, các con số chính phương lá 1, 4 và 9 vì 1 = 1², 4 = 2² và 9 = 3².   Suy ra, số N phải gồm 2 trong 3 con số 1, 4 và 9.

=> N có thể là 14, 19, 49, 41, 91 hay 94.

Trong 6 số đó, chỉ có 49 là số chính phương vì 49 = 7².

Tóm lại, chỉ có 1 số chính phương gồm 2 con số mà 2 con số đó cũng là những số chính phương. Số đó là N = 49

*           *          *

Trở lại bài toán chính: số chính phương N gồm 4 con số mà số hợp bởi 2 con số đầu và số hợp bởi 2 con số cuối cũng là những số chính phương.

Trong những số gồm 2 con số, 6 số sau đây là những số chính phương:

16    25    36     49      64       81

Số N phải hợp bởi 2 trong 6 số trên, tức là N có thể là 1 trong 30 số sau đây:

16 25      1636        1649        1664            1681
2536       2549       2564        2581             2516
3649       3664       3681         3616            3625
4964       4981        4916        4925            4936
6481       6416        6425        6436            6449
8116       8125        8136        8149            8164

Lời giải của bài toán là những số chính phương trong 30 số trên. Độc giả có thể dùng máy tính cầm tay để tìm thấy kết quả. Tất cả các số trên đều không phải là số chính phương trừ số
1681   vì    1681 = 41².

Tóm lại, chỉ có 1 số chính phương gồm 4 con số mà số hợp bởi 2 con số đầu và số hợp bởi 2 con số cuối cũng là những số chính phương.   Số đó là N =   1681

Cách tìm thứ hai:

Gọi 4 con số của số N lần lượt là a, b, c và d, hay N = abcd.  Số hợp bởi 2 con số đầu a và b là ab, số hợp bởi 2 con số cuối là cd.
Ta phải tìm 3 số x, y và z sao cho:

ab = x²,    cd = y²,         abcd = z²

Bình phương của x và y gồm 2 con số nên x và y phải lớn hơn 3 và nhỏ hơn 10:

=> 3 < x và y < 10                    (1)

Vì N = abcd    =>      N = 100ab + cd    hay   N = 100x² + y²    

Vì N = abcd = z² => 100x² + y² = z²

=> (10x)² + y² = z²                (2)

Đến đây, bạn đã thấy gì chưa? (10x, y, z) chính là một bộ ba số Pythagore mà ta phải tìm.

Nhắc lại:   Theo định lý Pythagore, trong một tam giác vuông, tổng số bình phương của 2 cạnh góc vuông a, b bằng bình phương của cạnh huyền c:

a² + b² = c²             (a và b hoán vị được)

Ba số a, b, c có tính chất như trên hợp thành một bộ ba số Pythagore, ký hiệu là    (a,b,c).

Có vô số bộ ba số Pythagore mà một số được viết sau đây:

(3,4,5) ,      (5,12,13) ,   (7,24,25) ,     (9,40,41) ,       (11,60,61) ,     (13,84,85)
(6,8,10) ,   (8,15,17) ,   (10,24,26) ,   (12,35,37) ,   (14,48,50) , …………

Trong số những bộ ba số Pythagore trên chỉ có bộ (9,40,41) thoả cả 2 điều kiện (1) và (2).
Thật vậy, ta có:
(9,40,41) = (40,9,41) => 40² + 9² = 41²
(10 x 4)² + 9² = 41² (3)

So sánh (2) và (3), suy ra: x = 4,  y = 9  và  z = 41

=> ab = x² = 16,   cd = y² = 81,   abcd = z² = 1681

Tóm lại: chỉ có một số chính phương phải tìm là  N = 1681 = 41², số 16 hợp bởi 2 con số đầu và số 81 hợp bởi 2 con số cuối cũng là những số chính phương, 16 = 4², 81 = 9².

Nếu có thì giờ, xin mời độc giả xét trường hợp số N có 6 con số mà số hợp bởi 3 con số đầu và số hợp bởi 3 con số sau, cũng như chính số N, đều là những số chính phương.

Thuận Hoà