Kỳ nầy, Thuận Hoà trình bày một bài toán rất thích thú có thể giúp độc giả tìm hiểu thêm về sự sắp xếp các hình vẽ.

Trên một tờ giấy có kẻ ô vuông đều nhau, bạn kẻ một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 5 và 13 ô và cắt tam giác thành 4 mảnh giấy có tô màu trong như Hình 1. Sau đó, bạn sắp xếp 4 mảnh giấy có tô màu lại với nhau như trong Hình 2.

Bạn đã thấy gì đặc biệt chưa? Trong Hình 2, tam giác vuông cạnh 5 x 13 vẫn như cũ, nhưng còn sót một lổ hỏng ô vuông không được lấp kín!

Nếu mỗi ô vuông có cạnh 1cm, thì diện tích của tam giác trong Hình1 là 5×13/2 = 32.5 cm2 nhưng trong Hình 2, diện tích chỉ có 31.5 cm2!

Làm sao giải thích sự kiện nầy? Xin mời độc giả bỏ chút thời giờ suy nghĩ xem có lời giải thích nào thoả đáng không?

*       *      *

Thật sự, trong Hình 1, bạn không có một hình tam giác vuông như bài toán đã nói, vì 2 cạnh huyền của 2 tam giác vuông nhỏ (màu đỏ và màu lam) không cùng nằm trên một đường thẳng. Bạn có thể thấy được điều đó nếu so sánh 2 góc nhọn nhỏ nhất của 2 tam giác đó, có tang lần lượng bằng 3/8 = 0.375 và 2/5 = 0.4, không bằng nhau, tức là 2 góc đó cũng không không bằng nhau.

Trong Hình 1, điểm nối của 2 tam giác vuông nhỏ nằm phiá dưới cạnh huyền của tam giác vuông lớn. Trong Hình 2, thì ngược lai, điểm nầy nằm phía trên cạnh huyền của tam giác vuông lớn. Hai điểm nối nầy, nếu vẽ chung trên cùng môt hình sẽ tạo cùng với 2 đỉnh của tam giác vuông lớn,thành một hình bình hành thật nhỏ. Diện tích của hình bình hành nầy chính bằng diện tích của lổ hỏng ô vuông trong Hình 2.

Bạn cũng có thể có nhận xét sau đây.

Trong Hình 1 và Hình 2, nếu tính riêng rẻ 4 mảnh có tô màu rồi cộng lại thì diện tích tổng cộng bằng:

3×8/2 (Đỏ) + 2×5/2 (Lam) + (2×2 + 1×3) (Vàng) + (1×2 + 3×2) (Xanh) = 32 cm2

Trong Hình 1, diện tích tam giác lớn là 5×13/2 = 32.5 cm2, nhiều hơn diện tích thật sự 0.5 cm2.

Trong Hình 2, diện tích tam giác lớn, không kể lổ hỏng, là 31.5 cm2 ít hơn diện tích thật sự
0.5 cm2. Phần dư và phần thiếu cộng lại bằng 1 cm2. Đó là diện tích của lổ hỏng ô vuông.

Bài toán trên đây cũng tương tự như bài toán trong chuyện phiếm “CP096 – Tại sao dư một đơn vị ?”.

Hai tam giác vuông nhỏ, màu đỏ và lam, có kích thước 2×5, 3×8, là những số đặc biệt trong dãy số Fibonacci   1  1  2  3  5  8  13  21  34 …. (mỗi số hạng bằng tổng số của 2 số hạng đứng trước). Dãy số nầy có một tính chất đặc biệt thường được dùng trong những bài toán phân chia và ráp hình như bài toán trên. Nếu ký hiệu F_n là số Fibonacci thứ n, ta có công thức:

(F_n)² = F_n-1 x F_n+1 ± 1     (+1 nếu n lẻ, -1 nếu n chẳn)

Công thức trên giúp ta liên tưởng đến diện tích của hình vuông (vế thứ nhất) và hình chữ nhật (vế thứ hai). Từ công thức đó, ta có thể dễ dàng tìm một hình vuông và một hình chữ nhật mà diện tích chỉ sai nhau 1 đơn vị.  Thí dụ: hình vuông cạnh 13 cm và hình chữ nhật cạnh 8cm x 21cm.

Theo Martin Gardner, bài toán trên đây được biểu diễn lần đầu bởi nhà ảo thuật tài tử ở thành phố New York Paul Curry năm 1953.

Thuận Hoà