Có những bài toán xem rất đơn giản, lời giải có thể đoán được dễ dàng bằng trực giác, nhưng nếu phải chứng minh lời giải đó một cách thuận lý bằng toán học, thì không phải dễ. Bài toán dưới đây thuộc loại đó:

“Trung bình, phải tung một hột xúc xắc mấy lần để có mặt 4 hiện ra?”

Theo trực giác, bạn có thể trả lời ngay là “Trung bình phải tung 6 lần để có mặt 4 hiện ra”. Câu trả lời đó đúng, có lẽ bạn đã dựa vào tính chất mà ai cũng biết là hột xúc xắc có 6 mặt, có nút từ 1 đến 6!

Bây giờ, chúng ta thử tìm lời giải đó một cách thuận lý bằng toán học, dựa vào những tính chất căn bản của xác suất.

Trước hết, muốn giải được bài toán trên, ta phải hiểu một định nghĩa về Trung bình của các lần thử trong xác suất.

Nếu một hiện tượng có thể xảy ra trong nhiều lần thử, lần thử 1 có xác suất x(1),  lần thử 2 có xác suất x(2), lần thứ 3 có xác suất x(3), vv … thì trung bình của các lần thử bằng:

M = 1x(1) + 2x(2) + 3x(3) + …..      (1)

Đồng thời, các tích chất căn bản của xác suất sau đây cũng được áp dụng:

a) Nếu gọi p là xác suất để mặt 4 hiện ra trong một lần tung, thì q = 1 – p là xác  suất để mặt 4 không hiện ra trong lần tung đó.

b) Xác suất để mặt 4 không hiện ra ở lần tung thứ nhất, nhưng hiện ra ở lần tung thứ hai  là (1 – p)p hay qp

c) Xác suất để mặt 4 không hiện ra lần tung thứ nhất và thứ hai nhưng hiện ra ở lần tung thứ ba bằng (1 – p)²p hay q²p.

d) Tương tư, xác suất để mặt 4 không hiện ra ở các lần tung 1, 2, 3, …, n nhưng hiện ra ở  lần tung thứ n+1 bằng (1 – p)ⁿp hay qⁿp

Xác suất của các lần tung 1, 2, 3, 4, … bằng:

t(1) = p,     t(2) = pq,     t(3) = pq²,      t(4) = pq³,      t(5) = pq⁴, ……

Vì ta phải tiếp tục tung hột xúc xắc hoài hoài cho đến khi nào có mặt 4 hiện ra mới ngừng,  nên trung bình M của các lần tung bằng, theo (1):

     M = 1t(1) + 2t(2) + 3t(3) + 4t(4) + 5t(5) + ….            (2)

=>              M = p + 2pq + 3pq² + 4pq³ + 5pq⁴ + ….                        (3)

(3) là một chuổi vô hạn mà ta có thể tính được bằng cách sau đây:

Nhân 2 vế của (3) cho q để có (4)

Mq = pq + 2pq² + 3pq³ + 4pq⁴ + 5pq⁵ + …… (4)

Hạt xúc xắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên xác suất p để mặt 4 xuất hiện trong 1 lần tung bằng 1/6.

Thay trị số của p vào (8):

=>   M = 6

Để có mặt 4 xuất hiện, trung bình phải tung hạt xúc xắc 6 lần.

Thuận Hoà