Thứ Ba 26 tháng 3 năm 2013 vừa qua là ngày kỷ niệm 100 năm ngày sinh của nhà Toán học lang thang Paul Erdős, Thuận Hoà xin có vài lời nhắc lại cuộc đời và sự đóng góp lớn lao của ông cho Toán học, đặc biệt về lý thuyết số.

Paul Erdős sinh ngày 26 tháng 3 năm 1913, tại Budapest, Hy lạp và mất ngày 20 tháng 9 năm 1996, hưởng thọ 83 tuổi, do suy tim trong khi dự một hội nghị Toán học tại Warsaw, Balan.

Lúc nhỏ, Paul Erdős đã được xem là một thần đồng toán học. Lúc 3 tuổi, ông đã tính nhẩm được những bài toán nhân với 3 con số, ông đã tự khám phá ra số âm khi trừ 100 độ với 250 độ và đạt được 150 dộ dưới 0. Vài năm sau, ông đã tự giải trí bằng cách giải những bài toán hóc búa do chính ông tự đặt ra, thí dụ như bài toán “phải mất bao lâu thì xe lửa mới đến được mặt trời!”.

Paul Erdős có hai người chị mất sớm trước khi ông chào đời, nên được cha mẹ rất nuông chìu. Ông được cha mẹ, cũng là thầy cô giáo dạy toán ở Trung học, dạy toán ở nhà với sự phụ giúp của một cô giáo người Đức. Theo lời của mẹ ông thì “Erdős không bao giờ tự trét bơ bánh mì nướng của mình cho đến khi ông 21 tuổi”. Ông không lập gia đình cho đến cuối đời.

Paul Erdős nhận bằng Tiến sĩ Toán năm 1934 tại đại học Budapest và sau đó, sang Manchester theo một học bổng hậu tiến sĩ.

Khi Paul Erdős 20 tuổi, ông đã chứng tỏ mình là một nhà toán học khi tìm được một cách chứng minh tuyệt hơn cho một định lý nổi tiếng của lý thuyết số. Đó là định lý Chebyshev, nói rằng “Với mọi số lớn hơn 1, luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố ở giữ số đó và số gấp đôi số đó.” (Số nguyên tố là số chỉ chia đúng cho 1 và chính nó). Nhà toán học người Nga Chebyshev đã chứng minh định lý này ở thế kỹ 19 nhưng không hay bằng chúng minh của Erdős.

Năm 1949, Paul Erdős và Atle Selberg làm cộng đồng toán học thế giới ngạc nhiên với một phương pháp sơ đẳng chứng minh “Định lý Số Nguyên tố”, giải thích sự phân bố của số nguyên tố. Định lý chưa giải được từ năm 1896.

Mặc dầu nghiên cứu của Erdős trải rộng nhiều lãnh vực toán học, nhưng ông vẫn luôn luôn giữ vững sở thích của mình về lý thuyết số trong suốt quảng đời còn lại. Ông tự đặt ra những bài toán rồi ông tự giảỉ chúng. Những bài toán nầy thường có thể phát biểu một cách đơn giản, nhưng rất khó giải quyết vì chúng liên hệ đến nhiều hệ thức giữa các con số, thí dụ như bài toán của định lý Chebyshev. Ông đã từng phát biểu: “Nếu người nào có thể nghĩ ra được một bài toán mà không ai giải được sau hơn một trăm năm, thì bài toán đó phải thuộc về lý thuyết số”.

Thí dụ sau đây cho thấy một bài toán khó do Erdős đặt ra và cách giải tuyệt vời của ông “Chứng minh rằng trong 6 số nguyên chọn bất kỳ trong khoảng từ 1 đến 10, có hai số không có thừa số chung”. Một phương pháp dài dòng là liệt kê tất cả 210 [= C(10,6) = 10! / 6!4!] trường hợp của 6 số chọn và kiểm soát từng trường hợp một! Cách giải tuyệt vời của bài toán trên như sau: “Vì 6 lớn hơn phân nửa các số từ 1 đến 10, nên trong 6 số chọn, thế nào cũng có 2 số kề nhau. Hai số kề nhau không thể có thừa số chung.

Pual Erdős là một nhà Toán học có một trí nhớ thật xuất sắc, có thể nói là khác thường. Ông không ham thích bất cứ thứ gì trừ các con số. Ngoài các bạn bè cùng nghiên cứu Toán học, tên ông không được biết đến nhiều trong xã hội. Ông không có viết những sách nổi tiếng. Ông coi thường những thành công trần tục và những tiện nghi cho cá nhân mình, đi đâu cũng chỉ với một cái vali. Tiền bạc kiếm được từ các giải thưởng, các bài thuyết giảng, ông phân phát cho các nhà Toán học quen biết mà ông cho là họ cần tiền hơn ông. Ông kết luận một cách giản dị: “Tài sản là phiền não”.

Paul Erdős được các nhà toán học cùng thời ca tụng hết lời. Ông là một trong những nhà toán học vĩ đại của thế kỹ. Ông đã đặt ra và giải nhiều bài toán gai góc trong lý thuyết số và trong các lãnh vực khác. Ông đã xây dựng nền tảng cho toán học gián đoạn, mở đầu cho những bước đi kế tiếp của ngành điện toán.

Paul Erdős là nhà toán học có nhiều công trình nhất ở thế hệ của ông. Ông đã viết hay cùng cộng tác với người khác, cả ngàn bài đăng trong các tạp chí toán học, nhưng chính trong lý thuyết số mới là lãnh vực ông được ca tụng là một thiên tài.

Tiến sĩ Ernst Straus, từng cộng tác với Albert Einstein và Paul Erdős, đã ca tụng tiến sĩ Erdős: “Ở thế kỷ chúng ta, trong đó toán học bị chế ngự nặng nề bởi những ‘bác sĩ lý thuyết’ (theory doctors – ý nói chỉ nghiên cứu những lý thuyết có sẵn – T.H.), ông vẫn là vua đặt ra những bài toán mới”. Ông tiếp tục: “Tiến sĩ Erdős là Euler của thời đại chúng ta”. Leonhard Euler là nhà toán học lớn ở thế kỹ thứ 18, mà trong giới toán học, ai cũng biết tên.

Với phương châm “Tài sản là phiền não”, Paul Erdős thường chỉ mang dép với vớ, gạt bỏ hết những gánh nặng của đời sống hàng ngày như tìm một nơi cư trú, lái chiếc xe hơi, trả thuế, mua thực phẩm, viết chi phiếu, vv … Tiến sĩ Burkard Polster, giáo sư toán tại đại học Monash, Melbourne, ca tụng ông như là một nhà sư toán học “Paul Erdős was a mathematical monk. For over fifty years, until his death in 1996, Erdős was homeless and owned nothing beyond what would fit in a small suitcase”.

Chú tâm hoàn toàn đến toán học, Paul Erdős đi tham dự từ buổi họp nầy đến buổi họp khác với một vali chỉ đầy phân nửa, sinh hoạt với các nhà toán học ơ bất cứ nơi nào mà ông đi tới. Các đồng nghiệp của ông săn sóc ông, cho ông mượn tiền, nuôi ông, mua quần áo cho ông và ngay cả khai thuế cho ông! Bù lại, ông giảng cho họ những ý tưởng và những thách thức của những bài toán phải giải quyết cùng những phương cách thông minh để khảo cứu.

Năm 1951, Paul Erdős nhận được giải thưởng “Cole Prize” do hội Toán học Mỹ tặng do các bài viết của ông về lý thuyết số. Erdős nhận được giải “Wolf Prize” năm 1983, nhưng ông chỉ giữ lại $720 trong số tiền thưởng $50,000. Phần còn lại, ông giúp cho những nhà toán học khác cần tiền hơn ông.

 Các nhà toán học thường khoe sự liên hệ của họ với Paul Erdős bằng cách khai ra “số Erdős”  của họ. Người có số Erdős 1 khi người đó có đứng tên chung với Erdős trong một bài báo.  Người có số Erdős 2 khi người đó có đứng tên chung với một người có số Erdős 1 trong một bài báo. Cứ thế mà suy rộng ra. Theo một tổng kết sau cùng, có 458 toán học gia có số Erdős 1 và 4,500 toán học gia có số Erdős 2. Hiện nay, vẫn còn nhiều khảo cứu đang tiến hành với tên của tiến sĩ Erdős.

Mong một ngày nào đó, nước Việt Nam đau thương của chúng ta cũng có được một nhà Toán học giỏi và khiêm cung như Paul Erdős. Mong thay!

Thuận Hoà