Kỳ nầy, mời độc giả cùng Thuận Hoà giải một bài toán vui bằng mẫu tự, mỗi mẫu tự thay một con số trong khoảng từ 0 đến 9 và không có 2 mẫu tự khác nhau thay cùng một con số.

Bài toán đó như sau:

Độc giả có thể đã tìm thấy môt lời giải, với không một lời giải thích, của bài toán vui trên ở một nơi nào đó, nhưng ở đây, tác giả thử tìm tất cả lời giải của bài toán bằng những nhận xét thuận lý để xem có được hay không?

*    *    *

Bài toán           ONE  +  ONE  =  TWO          (1)

Điều kiện:        0  ≤  O, N, E, T W  ≤  9   và  khác nhau.

Tổng số chỉ có 3 con số.

Số hàng trăm  O + O = T          =>  O = 1, 2, 3, 4              (2)

Nếu số hàng chục  N + N  <  10  (không có số giữ) 
=>  T = O + O  là số chẳn        =>  T = 2, 4, 6, 8

Nếu số hàng chục N + N  ≥ 10  (có số giữ 1 đem qua hàng trăm)
 =>  T = O + O + 1 là số lẻ      =>  T = 1, 3, 5, 7, 9

Số hàng chục  N + N  =  W

Nếu số hàng đơn vị  E + E  <  10  (không có số gữ)
=>  W = N + N  là số chẳn      =>  W = 2, 4, 6, 8

Nếu số hàng đơn vị  E + E  ≥ 10  (có số giữ 1 đem qua hàng chục)
=>  W  = N + N + 1 là số lẻ    =>  W = 1, 3, 5, 7, 9

Số hàng đơn vị  E + E = O     => O là số chẳn

Theo (2), O = 2, 4    =>  E = 1, 6, 2, 7

A)     Nếu  O  = 2   =>  E =  1, 6

a)       Trường hợp  O = 2  và  E = 1  và  N + N  ≤  10  (không có số giữ) hay  N < 5

=>   T = O + O = 4 
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 3, 5, 6, 7, 8, 9
Vì  N < 5  và  N ≠  W       => N = 3,  W = 6

Một lời giải của bài toán (1) là:         231 + 231 = 462

b)      Trường hợp  O = 2  và  E = 1  và  N + N  ≥  10  (có số giữ) hay  N ≥ 5

=>  T = O + O + 1 =  5
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 3, 4, 6, 7, 8, 9
Vì  N ≥  5  => N =  6, 7, 8, 9   =>  N + N  = 12, 14, 16, 18     =>  W =  2, 4, 6, 8
W = 2 (không nhận được vì O đã bằng 2), còn lại:
N = 7,  W = 4 ;   N = 8,  W = 6 ;  N = 9,  W = 8

Ba lời giải khác của bài toán (1) là:

                       271 + 271 = 542 ;     281 + 281 = 562  ;     291 + 291 = 582

c)      Trường hợp  O = 2  và  E = 6  (có số giữ 1) và  N+N+1 ≤  10  (không có số giữ)
           hay  N < 5

=>   T = O + O =  4 
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9
Vì  N < 5   =>  N = 0, 1, 3   =>  W = N + N + 1 =  1, 3, 7
=>  N = 0, W = 1 ;  N = 1, W = 3 ;  N = 3, W = 7

Ba lời giải khác của bài toán (1) là:

                         206 + 206 = 412 ;    216 + 216 = 432  ;    236 + 236 = 472

d)     Trường hợp  O = 2  và  E = 6 (có số giữ)  và  N + N + 1 ≥  10  (có số giữ)
          hay  N ≥ 5

=>  T = O + O + 1 =  5
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 3, 4, 7, 8, 9
Vì  N ≥  5  => N = 7, 8, 9 =>  N + N  + 1 = 15, 17, 19    =>  W = 5, 7, 9
W = 5  (không nhận được vì T đã bằng 5)
N = 9, W = 9  (không nhận được, vì N phải khác W), còn lại  N = 8, W = 7

Một lời giải khác của bài (1) là:           286 + 286 = 572

B)    Nếu  O  = 4   =>  E = 2, 7

e)       Trường hợp  O = 4  và  E = 2  và  N + N  ≤  10  (không có số giữ) hay  N < 5

=>   T = O + O = 8 
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 3, 5, 6, 7,  9
Vì  N < 5  và  N ≠  W       => N = 1,  W = 2 ( không nhận được vì E đã bằng 2), còn lại
 N = 3, W = 6

Một lời giải của bài toán (1) là:                 432 + 432 = 864

f)       Trường hợp  O = 4  và  E = 2  và  N + N  ≥  10  (có số giữ) hay  N ≥ 5

=>  T = O + O + 1 =  9
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 3, 5, 6, 7, 8
Vì  N ≥  5  => N =  5, 6, 7, 8   =>  N + N = 10, 12, 14, 16  =>  W = 0, 2, 4, 6
W = 2 (không nhận được vì E đã bằng 2)
W = 4 (không nhận được vì O đã bằng 4), còn lại:
N = 5,  W = 0 ;   N = 8,  W = 6

Hai lời giải khác của bài toán (1) là: 

                                                       452 + 452 = 904 ;     482 + 482 = 964

 g)      Trường hợp  O = 4  và  E = 7  (có số giữ 1) và  N+N+1 ≤  10  (không có số
           hay  N < 5

=>   T = O + O  =  8
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 2, 3, 5, 6, 9
Vì  N < 5   => N = 0, 1, 2, 3   =>  W = N + N + 1 = 1, 3, 5, 7
W = 7 (không nhận được vì E đã bằng 7), còn lại:
N = 0, W = 1 ;  N = 1,  W = 3 ;  N = 2,  W = 5

Ba lời giải khác của bài toán (1) là:  

                                407 + 407  =  814 ;    417 + 417  =  834 ;    427 + 427 = 854

h)      Trường hợp  O = 4  và  E = 7 (có số giữ)  và  N + N + 1 ≥  10  (có số giữ)
           hay  N ≥ 5

=>  T = O + O + 1 =  9
Còn lại 2 mẫu tự  N, W  thoả điều kiện  N + N = W với 7 con số chưa dùng là 0, 1, 2, 3,  5, 6, 8
Vì  N ≥  5  => N = 5, 6, 8 =>  N + N  + 1 = 11, 13, 17    =>  W = 1, 3, 7
W = 7  (không nhận được vì E đã bằng 7), còn lại  N = 5, W = 1 ; N = 6,  W = 3

Hai lời giải khác của bài toán (1) là: 

                                                     457 + 457= 914 ;   467 + 467 = 934

 i)        Tóm lại, bài toán có 16 lời giải như sau:

            231 + 231 = 462 ;
            271 + 271 = 542 ;    281 + 281 = 562  ;   291 + 291 = 582;
            206 + 206 = 412 ;   216 + 216 = 432  ;   236 + 236 = 472;
            286 + 286 = 572 ;
            432 + 432 = 864 ;
            452 + 452 = 904 ;   482 + 482 = 964 ;   
            407 + 407  =  814 ;  417 + 417  =  834 ;  427 + 427 = 854;
            457 + 457= 914 ;     467 + 467 = 934 .

Nhiều sách chỉ cho biết 1 lời giải, thật ra bài toán có đến 16 lời giải như đã thấy!

Thuận Hoà