Đây là một bài toán về dân số xảy ra vào thời xa xưa khi mà phương tiện giao thông và truyền thông còn rất giới hạn.

Một trăm (100) tù nhân nam có, nữ có, được nhà vua cho ra sinh sống trên một đảo vắng chưa có bóng  người. Mục đích của nhà vua là muốn biến hòn đảo hoang vu nầy thành một thành phố trù phú 100 năm sau.

Nhà vua cử một vị quan lo về việc nầy.

Sau đây là vài tính toán đầu tiên của vị quan:

Đầu năm sau, quan sẽ cho 100 tù nhân xuống ghe chài để đưa ra đảo. Cứ đầu mỗi năm sau, quan lại kiểm xem dân  số trên đảo trồi sụt thế nào. Mỗi năm mật độ sinh sản của dân chúng là 4% và mật độ tử vong là 3%,  không bao giờ thay đổi.

Khi tính tỉ lệ sinh tử của dân chúng, quan chỉ lấy phần nguyên và không để ý đến phần lẻ.

Thí dụ, sau năm đầu tiên, tính sổ lại thì đảo có thêm 4% dân số  hay có 4 trẻ sinh ra, đồng thời đảo mất đi 3% dân số hay 3 người quá vảng. Như vậy,  sau năm thứ nhất, dân số trên đảo tăng thêm: 4 – 3 = 1 người, tức là đầu năm thứ hai, đảo có 101 người. Vi 4% của 101 là 4.04  hay 4 người và 3% của 101 là 3.03 hay 3 người, nên trong năm thứ hai, dân số trên đảo cũng tăng thêm chỉ có 1 người, tức là đầu năm thứ ba, dân số trên đảo là 102 người.  v v ….

Một bài toán mà quan tự đặt ra cho mình là:

“Có phải dân số trên đảo tiếp tục tăng 1 người mỗi năm mãi mãi hay không?  Nếu không  phải vậy, thì chừng nào sự tăng trưởng 1 người mỗi năm mới  chấm dứt hoàn toàn và không tái diễn lại?”  

 Mời bạn suy nghĩ hộ quan, vì nói nhỏ bạn hay quan chỉ giỏi tài uống rượu ngâm thơ, còn toán học thì chỉ nhất nhị tam tứ mà thôi!

 *     *     *

Nếu tiếp tục lý luận như trên, thì trong năm thứ ba, dân số tăng thêm 4% của 102 hay 4 người (không kể số lẻ) và giảm bớt 3% của 102 hay 3 người, tức là tăng 1 người và dân số đầu năm thứ tư là 103 người.

Cứ tiếp tục như thế, bạn sẽ thấy trong vòng 25 năm đầu tiên (kể từ khi dân di cư đến đảo) dân số chỉ tăng 1 người mỗi năm, tức là đến đầu năm thứ 26, dân số trên đảo là 125. Trong năm thứ 26, dân số tăng 4% của 125 hay 5 người và giảm 3% cùa 125 hay 3.75 hay 3 người (không kể số lẻ).

Như vậy thì, trong năm thứ 26, dân số tăng thêm được 2 người.  Đầu năm thứ 27, dân số trên đảo là 127 người.

 Câu hỏi thứ nhất của quan đã có câu trả lời là:  “Dân số trên đảo không phải tăng 1 người mỗi năm mãi mãi”.

 Sau năm thứ 27, dân số tăng đều 2 người mỗi năm: đầu năm thứ 28 có 129 người, đầu năm thứ 29 có 131 người, đầu năm thứ 30, có 133 người và đần năm thứ 31, có 135 người.

 Trong năm thứ 31, dân số trên đảo tăng 4% của 135 hay 5 người và giảm 3% của 135 hay 4 người, tức là dân số trên đảo chỉ tăng thêm 1 người. Đầu năm thứ 32, dân số trên đảo là 136 người.

 Sau năm thứ 32, dân số lại tăng đều 1 người mỗi năm:  đầu năm thứ 33, có 137 người, đầu năm thứ 34, có 138 người, v v … cứ thê tiếp tục đến đầu năm thứ 46, có 150 người.

 Trong năm thứ 46, dân số trên đảo tăng 4% của 150 hay 6 người và giảm 3% của 150 hay 4 người, tức là dân số trên đảo tăng thêm 2 người. Đầu năm thứ 47, dân số trên đảo là 152.

 Sau năm thứ 47, dân số tăng đều 2 người mỗi năm: đầu năm thứ 48 có 154 người, đầu năm thứ 49 có 156 người, đầu năm thứ 50, có 158 người, đầu năm thứ 51, có 160 người, đầu năm thứ 52, có 162 người, đầu năm thứ 53, có 164 người, đầu năm thứ 54, có 166 ngưới và đầu năm thứ 55, có 168 người.

Trong năm thứ 55, dân số trên đảo tăng 4% của 168 hay 6 người và giảm 3% của 168 hay 5 người, tức là dân số trên đảo chỉ tăng thêm 1 người. Đầu năm thứ 56, dân số trên đảo là 169 người.

 Sau năm thứ 56, dân số lại tăng đều 1 người mỗi năm:  đầu năm thứ 57, có 170 người, đầu năm thứ 58, có 171 người, v v … cứ thê tiếp tục đến đầu năm thứ 61, có 174 người và đầu năm thứ 62, có 175 người.

 Trong năm thứ 62, dân số trên đảo tăng 4% của 175 hay 7 người và giảm 3% của 175 hay 5 người, tức la dân số trên đảo tăng thêm 2 người. Đầu năm thứ  63, dân số trên đảo là 177 người.

 Sau năm thứ 63, dân số tăng đều 2 người mỗi năm: đầu năm thứ  64 có 179 người, đầu năm thứ 65 có 181 người, đầu năm thứ 66, có 183 người, v v …. , đầu năm thứ 75, có 201 người.

 Trong năm thứ 75, dân số trên đảo tăng 4% của 201 hay 8 người và giảm 3% của 201 hay 6  người, tức la dân số trên đảo tăng thêm 2 người. Đầu năm thứ 76, dân số trên đảo là 203 người.

 Sau năm thứ 76, thì dân số trên đảo tiếp tục tăng đều 2 người mỗi năm và hiện tượng tăng đều 1 người mỗi năm không còn tái diễn nữa.

Câu hỏi thứ hai của quan đã có câu trả lời là “Hiện tượng dân số tăng trưởng 1 người mỗi năm chấm dứt hoàn toàn và không tái diễn lại sau năm thứ 61, lúc đó dân chúng trên đảo là 174 người”.

Thuận Hoà