ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP042 – Bài toán hai phong bì

 

Hôm nay là sinh nhật thứ 84 của Bác Côn, người cao tuổi nhất của hội “Yamaha”. Một buổi họp mặt thân mật được tổ chức tại trụ sở của hội để mừng Bác Côn. Sau khi tất cả nâng ly chúc mừng Bác Côn, ông nhóm trưởng trình ra 2 bao thơ và phát biểu chậm rãi cho tất cả nhóm đều nghe rõ:

            “Đây là hai phong bì giống y như nhau. Trong mỗi phong bì có
             một số 
tiền, nhưng hai số tiền nầy không bằng nhau. Có một
             phong bì đựng 
gấp đôi tiền trong phong bì kia. Bác Côn sẽ
             chọn một phong bì. Sau khi chọn 
một phong bì mà chưa mở 
             ra, Bác có thể đổi ý, đổi phong bì đó lấy phong 
bì còn lại.”

Ông nhóm trưởng còn nhấn mạnh đây là tấm chân tình của các thân hửu trong hội, Bác Côn không thể viện bất cứ lý do gì để từ chối.

Bác  Côn theo lời ông nhóm trưởng, chọn một phong bì, không mở ra xem, cầm mãi phong bì trên tay mà suy nghĩ,  không biết có nên giữ luôn phong bì hay trả lại ông nhóm trưởng và lấy phong bì còn lại? Tiền bạc trong phong bì không phải là vấn đề quan trọng đối với Bác Côn, Bác chỉ muốn tìm một cơ sở thuận lý nào đó cho quyết định của mình.

Mời bạn suy nghĩ xem có lý do thuận lý nào giúp được cho Bác Côn không?

*    *    *

Bác Côn suy nghĩ mãi mà không quyết định được cũng không có gì lạ vì đây là một bài toán khó, thường được biết dưới tên khác là “Sự nghịch lý của bài toán hai phong bì”. Nghịch lý vì một mặt bạn có thể tìm thấy một lời giải mà bạn cho là đúng, là thuận lý của bài toán, nhưng mặt khác, bạn lại thấy lời giải đó lại mâu thuẩn với chính nó!

Để tiện việc giải thích, gọi A là phong bì chọn bởi Bác Côn, và B là phong bì còn lại.

Bạn có thể cho là vì chưa phong bì nào được mở ra nên chọn phong bì nào cũng vậy, không cần phải đổi qua đổi lại mất thì giờ!  Nghĩ như vậy cũng đúng.

Thật vậy, gọi X là 1 số nào đó. Có 2 trường hợp về số tiền trong mỗi phong bì: 2X hay X/2. Xác suất của mỗi trường hợp nầy là 0.5, do đó, số tiền dự đoán trong 2 phong bì bằng nhau và bằng:

                      0.5 x 2X + 0.5 x X/2  = 5X/4  = 1.25 X

Bạn cũng có thể lý luận như thế nầy:

Gọi X là số tiền trong phong bì  A  mà Bác Côn đã chọn.

Có  2 trường hợp cho số tiền trong phong bì B còn lại: số tiền nầy có thể là 2X (gấp đôi) hay X/2 (phân nửa) số tiền trong phong bì A. Xác suất để phong bì B có 2X hay X/2 bằng nhau và bằng 0.5.

Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì B là:

                      0.5 x 2X + 0.5 x X/2  = 5X/4  = 1.25 X

Số tiền dự đoán nầy lớn hơn số tiền X trong phong bì A.

Như vậy:  Bác Côn nên trả lại phong bì A và nhận phong bì B.

Nhưng ………….  Nếu lúc đầu Bác Côn lấy phong bì B, không phải phong bì A, thì sao?

Cũng bằng cách lý luận như trên, bây giờ bạn lại thấy là Bác Côn nên trả lại phong bì B và nhận phong bì A!  Rõ ràng, hai kết quả trên mâu thuẩn nhau. Đó là lý do mà người ta  gán  nghịch lý cho bài toán hai phong bì.

Nhưng, thực sự bài toán hai phong bì có nghịch lý không? Thưa không, nói lý luận trên là một nguỵ biện thì đúng hơn. Thật vậy,

Khi “Gọi X là số tiền trong phong bì A” là ta đã xem như Bác Côn đã mở phong bì A và đã biết số tiền trong đó là X, trái với giả thiết nói là cà 2 phong bì A và B đều không mở ra.

Nói  “Số tiền trong phong bì B là 2X (gấp đôi) hay X/2 (phân nữa) số tiền trong phong bì A”  cũng sai vì mặc nhiên xem như số tiền X trong phong bì A là biết rồi.

Thực sự, số tiền trong phong bì A cũng chưa biết, số tiền nầy có thể bằng gấp đôi hay phân nửa số tiền trong phong bì B. Lý luận trên phải sửa lại như sau:

            “Gọi X là số tiền nhỏ hơn, 2X là số tiền lớn hơn.
             Nếu số tiền trong A là X, thì số tiền trong B là 2X
             Nếu số tiền trong A là 2X, thì số tiền trong B là X”

Như vậy thì có 2 trường hợp cho số tiền trong phong bì B: 2X và X với cùng xác suất 0.5. Do đó, số tiền dự đoán trong phong bì B bằng:

                      0.5 x 2X + 0.5 x X  = 1.5X

Tương tự, số tiền dự đoán trong phong bì A cũng bằng 1.5X.

Kết luận là   Bác Côn không cần thiết phải đổi phong bì A đề lấy phong bì B!

 

Thuận Hoà

One Response to “CP042 – Bài toán hai phong bì”

  1. Fantastic beat ! I wish to apprentice even as you amend your site, how can i subscribe for a weblog website? The account helped me a applicable deal. I have been tiny bit acquainted of this your broadcast provided brilliant transparent concept

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: