Bạn có khi nào nghe nói đến “số tự bạch” chưa?  Chắc chắn là chưa!, vì tên đó do Thuận Hoà mới vừa đặt ra để dịch tạm mấy chữ “Autobiographical Numbers”. “Tự bạch” ở đây có nghĩa là tự tách bạch ra cho biết những tính chất thầm kín bên trong của mình! Độc giả nào có cách dịch thích thú hơn, xin cho Thuận Hoà biết. Thành thật cám ơn.

Chúng ta điều biết công dụng của một số là để chỉ một số đo, một độ lớn, một thành phần, một tầm quan trọng, một thứ tự, vv….   của một đại lượng hay một khái niệm nào đó mà người ta muốn diễn tả một cách chính xác. Đơn giản như thế. Tuy nhiên, có những số có những tính chất đặc biệt khác hiện ra bên ngoài mà những ai chú ý có thể nhận thấy được. Số tự bạch là số thuộc loại nầy. Vậy số tự bạch cho biết những tính chất gì?

Các nhà Toán học định nghĩa “Số tự bạch” như sau:

Số tự bạch là một số N mà nếu đi từ trái sang phải, thì:

–  Con số thứ nhất cho biết số con số 0  trong số N
–  Con số thứ hai cho biết số con số   1  trong số N
–  Con số thứ ba cho biết số con số    2  trong số N
–  Cứ thế mà tiếp tục …

Bạn kiểm lại xem số  N = 1210  có phải là một số tự bạch không?

Con số thứ nhất =  1   =>  N chứa 1 con số  0
Con số thứ hai   =  2   =>  N chứa 2 con số  1
Con số thứ ba    =  1   =>  N chứa 1 con số  2
Con số thứ tư     =  0  =>  N chứa 0  con số 3

Vậy, 1210 đúng là một số tự bạch.

Chắc độc giả cũng thấy rằng chuyện phiếm khoa học “CP009 – Bài toán nhỏ hóc búa” trong kỳ phát hành ngày 8 tháng 4 năm 2011, đã dựa trên định nghĩa của số tự bạch. Trong lời giải của bài toán nầy, với N gồm 5 con số, Thuận Hoà đã tìm được số N = 21200. Mời độc giả kiểm lại xem đó có phải là một số tự bạch không?

Một phương pháp tìm số tự bạch

Để tránh nhầm lẫn trong lý luận, Thuận Hoà đề nghị cách gọi các con số của số N theo thứ tự từ trái qua phải là
cột-1, cột-2, cột-3, vv …

Như vậy thì cột-x trong số N bằng số con số x-1 xuất hiện trong số N.

Thí dụ: cột-5 = 2 => N chứa 2 con số 4.

Trước hết, ta có vài nhận xét sau đây:

a)      Theo định nghĩa thì số tự bạch không thể có hơn 10 con số (vì mỗi con số cho biết số lần hiện diện của 1 con số nào đó trong khoảng từ 0 đến 9). Thật vậy, nếu N có 11 con số, thì con số 11 là tổng số các lần hiện diện trong số N của số nào?

b)     Tổng số các con số trong số tự bạch bằng số con số của số tự bạch. Như vậy thì tổng số các con sô không thể lớn hơn 10.
Thật vậy, ta có:

cột-1 + cột-2 + cột-3 + ….      =  số con số 0 + số con số 1 + số con số 2 + …. =  số con số trong số N

c)      Con số đầu tiên (hay cột-1) bằng số con số 0. Vì số đầu tiên phải khác 0, nên số con số 0 trong số tự bạch phải khác 0 (tức là số tự bạch có ít nhất 1 con số 0)

d)     Từ b) và c) suy ra: trừ con số thứ nhất (hay trừ cột-1), tổng số các con số bằng số các con số khác 0 cộng thêm 1

e)      Ngoại trừ con số thứ nhất, các con số khác 0 còn lại gồm: 1 con số 2 và nhiều nhất 2 con số 1 và (không thể  có số lớn hơn 2, vì số đó sẽ kéo theo nhiều con số khác mà tổng số các con số sẽ lớn hơn 10). Thật vậy, ngoài cột-1, nếu N chứa con số 3 và giả sử cột-2 = 3, thì:

=> N có 3 con số 1. Thí dụ: cột-3 = 1, cột-4 = 1, cột-5 = 1
=> N có 1 con số 2, 1 con số 3  và 1 con số 4. Thí dụ: cột-6 = 2, cột-7 = 4
=> N có 2 con số 5 và 4 con số 6   =>  …..

 Tương tự, con số 2 cũng chỉ có thề  xuất hiện 1 lần và không thể có hơn 2 con số 1

f)       Ngoại trừ con số thứ nhất, có 0, 1 hay 2 con số 1 trong số tự bạch

Số tự bạch N không chứa con số 1 (sau con số thứ nhất)

• Theo  tính chất e), vì số con số 0 trong số N bằng 0 nên, ngoài con số thứ nhất, N phải có 1 con số 2

• Vì sự có mặt của con số 2 nên  con số thứ ba (hay cột-3) của N phải khác 0, vì số nầy không thể bằng 1, nên phải bằng 2

• Cột-3 = 2 nên N phải có 2 con số  2.  Cột-3 đã bằng 2, phải có thêm 1 con số khác bằng 2. Số nầy chỉ có thể là con số thứ nhất.

Tóm lại, số tự bạch không chứa con số 1 là  N = 2020

Số tự bạch N chứa 1 con số 1 (sau con số thứ nhất)

• Theo  e) thì ngoài con số thứ nhất, N chỉ chứa 1 con số 1 và 1 con số 2.

• Vì sự có mặt của con số 1 và  con số 2 nên cột-2 và cột-3 của N phải khác 0

• Nếu cột-2 = 1 thì cột-3 = 2  => N phải chứa 2 con số 2. Con số thứ  ba đã bằng 2, phải có thêm 1 con số khác bằng 2. Số nầy chỉ có thể là con  số thứ nhất (cột-1 = 2)

  Tóm lại:   N = 21200

• Nếu con số thứ hai bằng 2 thì  con số thứ ba bằng 1, tức là N phải chứa 2 con số 1 và 1 con số 2. Con số  thứ ba đã bằng 1, phải có thêm 1 con số khác bằng 1. Số nầy chỉ có thể là  con số thứ nhất.

  Tóm lại:   N = 1210

Tóm lại, số tự bạch chỉ chứa 1 con số 1 sau con số thứ nhất là  N = 21200  và  N = 1210

Số tự bạch N chứa 2 con số 1 (sau con số thứ nhất)

• Theo  e) thì ngoài con số thứ nhất, N chỉ chứa 2 con số 1 và 1 con số 2.

• Vì  N chỉ có 1 số 2 (sau cột-1) nên  cột-3 = 1 và  cột-2 = 2.

• Sau con số thứ nhất, N phải có  2 con số 1. Đã có  cột-3 = 1. Con số 1 thứ hai có thể đặt ở một trong các  cột còn lại:

          cột- 4 = 1  =>  N phải có 1 con số 3. Số nầy chỉ có thể  là cột-1

  =>  N  = 3211000

         cột-5  = 1   =>  N phải có 1 con số 4. Số nầy chỉ có thể  là cột-1

  =>  N = 42101000

          cột-6  = 1   =>  N phải có 1 con số 5. Số nầy chỉ có thể  là cột-1

  =>  N = 521001000
  
         cột-7 = 1    =>  N phải có 1 con số 6.   Số nầy chỉ có thể là cột-1

  =>   N = 6210001000

Tóm lại, các số tự bạch tìm được là:

                  1210,  21200, 3211000,  42101000,  521001000,   6210001000

  Thuận Hoà