ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ

Cổ vũ lòng yêu thích các trò chơi hữu ích cho sự luyện tập trí óc trong cộng đồng người Việt

CP096 – Tại sao dư một đơn vị ?

Lời nói đầu:  Một trò biểu diễn có tên là “Azulevos Trick” đang lan truyền trong thế giới mạng, rất được nhiều người khen tặng nhưng không giải thích được. 

                      Xem http://biertijd.com/mediaplayer/?itemid=40360.

 Hy vọng bài viết nầy sẽ giúp độc giả hiểu được cái “trick” cuả trò biểu diễn này.

*          *          *

Có một bài toán về hình thường làm ngạc nhiên nhiều người như dưới đây.

Bạn có một hình vuông kích thước 21 x 21. Bạn cắt hình vuông thành 4 phần A, B, C và D theo những đường kẻ như trong Hình 1 và ráp những mảnh cắt lại như trong Hình 2 để có một hình chữ nhật kích thước 13 x 34.

image002

Điều ngạc nhiên xảy ra khi bạn tính diện tích của 2 hình. Theo nhận xét thông thường thì 2 hình nầy phải có cùng diện tích, nhưng khi tính toán, thì lạ thay:

Diện tích hình vuông = 21 x 21 = 441
Diện tích hình chữ nhật = 13 x 34 = 442

 Nếu đi từ hình vuông sang hình chữ nhật, bạn ắt đặt câu hỏi “Tại sao diện tích lại tăng hơn một đơn vị?”, nhưng nếu đi từ hình chữ nhật sang hình vuông, thì câu hỏi sẽ là “Tại sao diện tích lại thiếu một đơn vi?”.

Mời độc giả thử tìm lời giải thích sự khác biệt giữa hai diện tích đó xem sao?

 *         *         *

Thật ra, 1 đơn vị diện tích dư trong hình chữ nhật là diện tích của một lỗ hổng hình bình hành ở giữa hình chữ nhật.

Lỗ hổng nầy có 2 cạnh đối là 2 cạnh huyền ML, PH của 2 tam giác vuông và 2 cạnh đối còn lại là 2 cạnh xiên của 2 hình đa giác. Vì diện tích sai biệt quá nhỏ nên lỗ hổng nầy không thấy được trên hình 2. Bốn cạnh của lỗ hổng như trùng nhau trên đường chéo của hình chữ nhật.

Gọi a là góc H của tam giác vuông KPH và a’ là góc M của tam giác vuông NPM. Ta có:

              tang(a)   =  KP / KH =  21/8 = 2.625

              tang (a’) =  NP / NM =  34/13 = 2.615

Suy ra: 2 góc a và a’ không bằng nhau. Vì MN // HK nên a ≠ a’ => cạnh huyền PH của tam giác vuông KPH thật sự không nằm trên đường chéo MP của hình chữ nhật nhưng hình vẽ không phân biệt được.

*        *        *

Để thấy rõ lỗ hổng giữa hình chữ nhật, ta thử cắt hình vuông 21 x 21 cách khác theo những đường kẻ như trong Hình 3 và ráp hình cắt lại theo hình chữ nhật 15 x 36 như trong Hình 4.

image004

Diện tích hình vuông       =    21 x 21   =  441
Diện tích hình chữ nhật  =    15 x 36   =  540

Diện tích sai biệt 540 – 441 = 99 chính là diện tích của lỗ hổng MHPL ở giữa hình chữ nhật.

*        *        *

Sự liên hệ với dãy số Fibonacci.

Dãy số Fibonacci

1      1     2      3      5      8      13      21       34       55       89     ……..

gồm những số thoả tính chất: kể từ số hạng thứ ba, mỗi số bằng tổng số của 2 số đứng trước nó.
Nếu gọi F(n) là số Fibonacci thứ n, ta có công thức:

F(n) = F(n-1) + F(n-2)          n > 2

Và tính chất:                [F(n)]2 = F(n-1) x F(n+1) – 1

Tính chất trên gợi ta nhớ đến diện tích hình vuông (vế trái) và diện tích hình chữ nhật (vế phải). Hai diện tích nầy sai nhau 1 đơn vị.

Thật vậy, bài toán dư 1 đơn vị diện tích có thể áp dụng vảo bất cứ hình vuông nào có cạnh là một số Fibonacci F(n) bất kỳ và hình chữ nhật có cạnh là 2 số Fibonacci F(n-1) và F(n+1).

Trong bài toán đã xét, hình vuông có cạnh là số Fibonacci F(8) = 21 và hình chữ nhật có 2 cạnh là 2 số Fibonacci
F(7) = 13 và F(9) = 34.

Mời độc giả áp dụng bài toán vào 3 số Fibonacci   F(5), F(6) và F(7).

Thuận Hoà

One Response to “CP096 – Tại sao dư một đơn vị ?”

  1. Kỳ BK096 « ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ said

    12/04/2013 at 7:06 am

    […] đọc Chuyện Phiếm mới nhất: “Tại sao dư một đơn vị ?”, trong mục Các Tài liệu mới […]