Ông Tám chủ tiệm thuốc tây ABC ở đầu xóm có 5 quả cân nhỏ giống nhau nhưng có trọng lượng khác nhau, được biết là 10, 20, 30, 40 và 50 gram. Ông muốn biết trọng lượng của mỗi quả cân để vẽ trên quả cân cho tiện dụng. Ông không biết trọng lượng của mỗi quả cân trừ khi để chúng vào dĩa của bàn cân để so sánh.

Hỏi vậy:   với bàn cân 2 dĩa, có cách nào mà chỉ với 5 lần cân là ông Tám xác định chính xác được trọng lượng của các quả cân?

Lời giải:

Gọi A, B, C, D và E là 5 quả cân mà ông Tám muốn xác định trọng lượng.

Ba lần cân đầu, ông Tám có thể thực hiện như sau:

Lần cân thứ nhất:    A + B   <=>   C + D

Lần cân thứ hai:      A + C   <=>   B + D

Lần cân thứ ba:       A + D   <=>   B + C

Sau 3 lần cân đầu, các trường hợp có thể xảy ra như sau:

1) Trường hợp 1:   Không có cân bằng trong 3 lần cân và có 1 quả cân luôn có mặt bên nặng hơn trong 3 lần cân

Chú thích:   X > Y có nghĩa là X nặng hơn Y; X = Y có nghĩa là X nặng như Y

A + B > C + D,    A + C > B + D,    A + D > B + C            (1)

Suy ra:  A = 50 gram và  E = 40 gram (vì nếu E ≠ 40 gram => B, C hoặc D bằng
40 gram  => 1 trong 3 bất đẳng thức trên không được nghiệm)

Lần cân thứ tư:      B   <=>   C

Lần cân thứ năm:   E   <=>   B + C

Giả sử kết quả lần cân thứ tư là B > C, kết quả của lần cân thứ năm có thể là:

a) E > B + C => B = 20 gram, C = 10 gram => D = 30 gram
b) E = B + C => B = 30 gram, C = 10 gram => D = 20 gram
c) E < B + C => B = 30 gram, C = 20 gram => D = 10 gram

2) Trường hợp 2:  Không có cân bằng trong 3 lần cân và có 1 quả
cân luôn có mặt bên nhẹ hơn trong 3 lần cân

A + B < C + D,   A + C < B + D,   A + D < B + C     (2)

Suy ra:   A = 10 gram và E = 20 gram  (vì nếu E ≠ 20 gram thì B, C hoặc D phải bằng
20 gram => 1 trong 3 bất đẳng thức trên không được nghiệm)

Lần cân thứ tư:      B   <=>   C

Lần cân thứ năm:   B   <=>   A + D

Giả sử kết quả lần cân thứ tư là B > C, kết quả của lần cân thứ năm có thể là:

a) B > A + D => B = 50 gram, C = 40 gram => D = 30 gram
b) B = A + D => B = 50 gram, C = 30 gram => D = 40 gram
c) B < A + D => B = 40 gram, C = 30 gram => D = 50 gram

3) Trường hợp 3:  Trong 3 lần cân, có 1 lần cân bằng (thí dụ lần thứ nhất), 2 lần không cân bằng. Trong 2 lần nầy, có 1 quả cân (thí dụ A) luôn có mặt bên nặng hơn và 1 quả cân (thí dụ B) luôn có mặt bên nhẹ hơn.

A + B = C + D,   A + C > B + D,   A + D > B + C          (3)

Lần cân thứ tư:       C   <=>   D

Lần cân thứ năm:    E   <=>   B + D

Giả sử kết quả lần cân thứ tư là C > D, kết quả của lần cân thứ năm có thể là:

a) E > B + D => A = 40 gram, B = 10 gram, C = 30 gram, D = 20 gram, E = 50 gram
b) E = B + D => A = 50 gram, B = 10 gram, C = 40 gram, D = 20 gram, E = 30 gram
c) E < B + D => A = 50 gram, B = 20 gram, C = 40 gram, D = 30 gram, E = 10 gram

Tóm lại, sau 5 lần cân, ông Tám có thể xác định được trọng lượng của 5 quả cân. Công việc tiếp theo của ông Tám là lấy sơn vẽ trọng lượng lên trên các quả cân!

Thuận Hoà