Một tính chất đơn giản liên quan đến 3 cạnh của một tam giác mà ai cũng biết là: “Độ dài một cạnh nhỏ hơn tổng số của 2 cạnh còn lại”. Nếu độ dài của 3 cạnh tam giá ABC là a, b và c thì:

 a < b + c,       b < c + a         và           c < a + b              (1)

Bài toán sau đây cũng liên quan đến 3 cạnh của tam giác nhưng phức tạp hơn nhiều.

Trên một thanh gỗ dài, bạn làm dấu 2 điểm bất kỳ và cưa thanh gỗ tại 2 điểm đó để có 3 thanh gỗ ngắn. Hỏi vậy, xác suất để 3 thanh gỗ ngắn này hợp thành 3 cạnh của một tam giác là bao nhiêu?

Bạn có thể nghĩ là: chỉ cần có 3 thanh gỗ ngắn thoả điều kiện (1) là có thể tao thành một tam giác, và có “vô số” cách cưa thanh gỗ dài để có một tam giác nên “xác suất để 3 thanh gỗ ngắn là 3 cạnh của một tam giác phải là 1 hay gần bằng 1”!

Có phải thế không?    Thưa, không phải. Cách tìm được xác suất đó phức tạp hơn nhiều.

Trước hết, ta chứng minh tính chất sau đây, gọi là định lý Viviani:

“Tổng số khoảng cách từ một điểm P bất kỳ trong một tam giác đều đến 3 cạnh tam giác là một hằng số.”

Cách chứng minh như sau:

Xét điểm P bất kỳ nằm trong tam giác đều ABC có khoảng cách đến AB, BC và CA lần lượt là PH, PK và PL. Một đường cao của tam giác là AA’.
Diện tích tam giác ABC = ½ BC.AA’
Diện tích tam giác ABC = tổng số diện tích của 3 tam giác PAB, PBC và PCA

½ BC.AA’ = ½ AB.PH + ½ BC.PL + ½ CA.PK

Vì BC = CA = AB, suy ra sau khi đơn giản:

= > PH + PL + PK = AA’ = hằng số.

Tóm lại, tổng số khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong một tam giác đều là một hằng số bằng đường cao của tam giác đều.

Áp dụng định lý Viviani để tìm xác suất tạo tam giác bằng 3 đoạn thẳng.

Giả sử độ dài của thanh gỗ dài là 1 đơn vị dộ dài và độ dài của 3 thanh gỗ ngắn là x, y và z:

x + y + z = 1

Xét một tam giác đều ABC có dộ dài của đường cao là 1. Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. A’B’C’ cũng là một tam giác đều có độ dài đường cao là 1/2.

Theo định lý Viviani, trong tam giác đều ABC đường cao bằng 1, ta có thể tìm 1 điểm P có khoảng cách đến 3 cạnh lần lượt bằng x, y và z.

Một cách vẽ để có điểm P đó như sau:

Vẽ đường thẳng (s) song song với BC và khoảng cách đến BC bằng x
Vẽ đường thẳng (t) song với CA và khoảng cách đến CA bằng y
Hai đường thẳng (s) và (t) cắt nhau tại điểm P.
Khoảng cách từ P đến cạnh AB bằng z theo định lý Viviani.

Nối các trung điểm A’, B’ và C’ của 3 cạnh BC, CA và AB, ta dược 4 tam giác đều nhỏ có đường cao bằng 1/2.

Với mọi cặp 3 (x,y,z) thoả hệ thức x + y + z = 1, ta có thể tìm được điểm P trong tam giác ABC có khoảng cách đến 3 cạnh là x, y và z. Ba khoảng cách nầy chỉ có thể là 3 cạnh của 1 tam giác khi phải thỏa (1), tức là điều kiện: tổng số độ dài của 2 cạnh phải lớn hơn cạnh thứ ba. Điều kiện nầy không được thoả khi P nằm trong 3 tam giac đều AC’B’, BA’C’ và CB’A’.

Thật vậy, giả sử P nằm trong tam giác BA’C’.

Xem P như nằm trong tam giác BA’C’ và Pu, Pv, Pw lần lượt là khoảng cách từ P đến BC, CA và AB.

Theo định lý Viviani, ta có:

Pu + Pw + Pv’ = 1/2      (đường cao của tam giác BA’C’)
=> Pu + Pw < 1/2       (2)

Xem P như nằm trong tam giác ABC => Pu + Pw + Pv = 1 => Pu + Pw = 1 – Pv
(2) => 1 – Pv < 1/2 => Pv > 1/2         (3)

Theo (2) và (3) thì Pu + Pw < Pv => Pu, Pw và Pv không thể là 3 cạnh của 1 tam giác.

Tương tự, nếu điểm P nằm trong tam giác CB’A’ hay AC’B’ thì khoảng cách từ P đến 3 cạnh của tam giác ABC không thể là 3 cạnh của một tam giác.

Tóm lại, chỉ khi điểm P nằm trong tam giác A’B’C’ thì mới có thể tạo một tam giác từ khoáng cách của P đến 3 cạnh của tam giác ABC.

Bốn tam giác AC’B’, BA’C’, CB’A’ và A’B’C’ có diên tích bằng nhau và bằng 1/4 diện tích tam giác ABC.

Suy ra:      xác suất để 3 thanh gỗ ngắn là 3 cạnh của một tam giác là 1/4.

Thuận Hoà
Sydney 2017