CP033 – Ba chặng đuờng trên bàn cờ
Bàn cờ Tây gồm 64 ô tạo thành bởi 9 đường thẳng ngang và 9 đường thẳng dọc cách đều nhau. Các ô được tô màu sao cho 2 ô kề cận nhau có màu khác nhau, thường là trắng và đen như hình dưới đây:
Nếu ta khởi hành từ một ô nào đó, đi 3 chặng đường trên bàn cờ theo đường thẳng ngang hoặc dọc, chặng thứ nhất X bước (mỗi bước là 1 ô), chặng thứ nhì Y bước, chặng thứ ba Z bước, để đi đến một ô cuối cùng, thì bạn sẽ thấy có tính chất sau đây:
Ô cuối cùng và ô đầu tiên có cùng hay khác màu tuỳ theo tổng số các bước X+Y+Z là một số chẳn hay lẻ.
Thí dụ, nếu ta khởi đi từ ô A có màu trắng, đi thẳng lên 2 bước đến ô B, quẹo phải, đi 3 bước đến ô C, sau cùng đi thẳng lên thêm 3 bước để đến ô cuối cùng D, thì ô D cũng có màu trắng như ô A vì 2+3+3 = 8 là một số chẳn.
Nếu ta khởi đi từ ô A’ có màu đen, đi ngang về phía tay mặt 3 bước đền ô B’, rồi đi lên 2 bước đến ô C’, sau cùng đi tiếp 2 bước nữa để đến ô D’, thì ô D’ không cùng màu với ô A vì
3+2+2 = 7 là một số lẻ.
Có một bài toán thú vị đặt ra như sau:
Trên bàn cờ, ta bắt đầu từ một ô M nào đó, đi 3 chặng đường để đến một ô N nào đó. Giả sử các bước X, Y và Z của 3 chặng đường nầy được xác định bằng trị số của một con quay có 3 mặt đánh số 1, 2 và 3 được quay 3 lần: lần thứ nhất cho số bước X, lần thứ nhì cho số bước Y và lần thứ ba cho số bước Z của 3 chặng đường.
Hỏi vậy, xác suất để ô bắt đầu M và ô cuối cùng N có cùng màu là bao nhiêu?
* * *
Bài toán nầy không đặt vấn đề hướng đi, đi lên, đi xuống, đi về bên trái hay bên phải, đểu được miễn là đi trên hàng dọc hay hàng ngang, và ô bắt đầu M và ô cuối cùng N nằm đâu cũng được, không cố định, miễn là phải cần 3 chặng đường mới đi được từ ô nầy đến ô kia.
Theo thí dụ trên, thì ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu (cùng màu đen hay cùng màu trắng) khi tổng số bước của 3 chặng đường là 1 số chẳn.
Mỗi lộ trình 3 chặng từ một ô nầy đến một ô kia, được xác định bằng 1 phân bố của 3 số 1, 2 và 3 xác định số bước trong mỗi chặng đường. Các số nầy có thể trùng nhau. Vậy, có bao nhiêu phân bố tất cả? Ta hãy tìm xem:
111 222 333 (Cả 3 lần quay đều cho cùng một số)
112 113 121 122 123 131 132 133
211 212 213 221 223 231 232 233
311 312 313 321 322 323 331 332
Tóm lại: có 27 lộ trình có thể đi từ ô M đến ô N bằng 3 chặng đường.
Để ý rằng mỗi lộ trình gồm 3 chặng đường xác định bằng số bước trong các chặng đó. Thí dụ, 312 xác định lộ trình 3 chặng mà chặng thứ nhất có 3 bước, X = 3, chặng thứ nhì 1 bước,
Y = 1, và chặng thứ ba 2 bước, Z = 2. Ta có X+Y+Z = 3+1+2 = 6 là số chẳn, nên theo lộ trình 312, thì ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu.
Vậy, trong số 27 lộ trình trên, có bao nhiêu lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng đường là một số chẳn, ta hãy tìm xem:
222 112 121 123 132
211 213 231 233 312
321 323 332
Có 13 lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng là một số chẳn. Dĩ nhiên, có 14 lộ trình mà tổng số các bước trong 3 chặng là một số lẻ.
Tới đây, ta có thể suy ra kết luận:
Nếu đi từ một ô nầy đến một ô kia bằng một lộ trình có 3 chặng đường mà số bước trong mỗi chặng ở trong khoản từ 1 đến 3, thì xác suất để ô bắt đầu và ô cuối cùng có cùng màu bằng
13 / 27 ≈ 0.48 hay 48%
Xác suất để ô bắt đầu và ô cuối cùng khác màu bằng 14/27 = 1 – 0.48 = 0. 52 hay 52%
* * *
Bây giờ, giả sử ta đi 2 lộ trình liên tiếp (mỗi lộ trình cũng có 3 chặng đường), lộ trình thứ nhất đi từ ô M đến ô N, lộ trình thứ hai đi từ ô N đến ô P, thì xác suất để ô bắt đầu M và ô cuối cùng P có cùng màu là bao nhiêu?
Có 2 trường hợp để ô bắt đầu M và ô cuối cùng P có cùng màu:
Trường hợp 1: Hai ô M và N có cùng màu. Hai ô N và P có cùng màu.
=> Xác suất: p1 = (13/27) x (13/27) = (13)2 / (27)2
Trường hợp 2: Hai ô M và N khác màu. Hai ô N và P khác màu.
=> Xác suầt: p2 = (14/27) x (14/27) = (14)2 / (27)2
Xác suất để hai ô M và P có cùng màu bằng:
p = p1 + p2 = [(13)2 + (14)2] / (27)2 ≈ 0.50 hay 50%
ĐỌC VUI VÀ SUY NGHĨ 
Leave a comment